9. त्रिकोणमिति के कुछ अनुप्रयोग (Some Applications of Trigonometry)
इस पेज पर आपको 9. त्रिकोणमिति के कुछ अनुप्रयोग (Some Applications of Trigonometry) के सभी महत्वपूर्ण बहुविकल्पीय प्रश्न (MCQ), परीक्षा उपयोगी नोट्स और ऑनलाइन क्विज़ मिलेंगे। अपने ज्ञान का परीक्षण करने और बोर्ड/प्रतियोगी परीक्षा में शत-प्रतिशत अंक प्राप्त करने के लिए नीचे दिए गए मॉक टेस्ट में अवश्य भाग लें।
👉 अध्याय का सारांश (Summary)
प्रिय विद्यार्थियों, कक्षा 10 गणित के नौवें अध्याय 'त्रिकोणमिति के कुछ अनुप्रयोग' (Some Applications of Trigonometry) में आपका हार्दिक स्वागत है। पिछले अध्याय में हमने त्रिकोणमितीय अनुपातों और सर्वसमिकाओं का विस्तार से अध्ययन किया था। अब समय आ गया है कि हम उस सैद्धांतिक ज्ञान को अपने वास्तविक जीवन की समस्याओं को हल करने में लागू करें। इस अध्याय को अक्सर 'ऊंचाई और दूरी' (Heights and Distances) के नाम से भी जाना जाता है। त्रिकोणमिति गणित की वह शाखा है जिसका आविष्कार ही खगोलविदों द्वारा तारों और ग्रहों की दूरियां मापने के लिए किया गया था। आज भी भूगोल, नेविगेशन और वास्तुकला (Architecture) में इसका सबसे अधिक उपयोग होता है।
कल्पना कीजिए कि आप अपने स्कूल के दोस्तों के साथ पिकनिक पर गए हैं और वहां 1 बहुत ऊंचा टावर या पेड़ देखते हैं। क्या आप उस पेड़ पर चढ़े बिना उसकी सटीक ऊंचाई बता सकते हैं? त्रिकोणमिति की मदद से यह बिल्कुल संभव है। यदि आपको पेड़ से अपनी दूरी और वहां से पेड़ के शिखर को देखने पर बनने वाला कोण पता है, तो आप आसानी से उसकी ऊंचाई निकाल सकते हैं। इसी तरह, नदी के 1 किनारे पर खड़े होकर दूसरे किनारे की चौड़ाई मापना, या आसमान में उड़ रहे 1 हवाई जहाज की जमीन से ऊंचाई ज्ञात करना भी इसी तकनीक से संभव है।
इस अध्याय में हम मुख्य रूप से 3 नई अवधारणाओं को समझेंगे: दृष्टि रेखा (Line of sight), उन्नयन कोण (Angle of elevation) और अवनमन कोण (Angle of depression)। जब हम अपनी आंख से किसी वस्तु को देखते हैं, तो आंख से वस्तु तक खींची गई काल्पनिक सीधी रेखा को दृष्टि रेखा कहते हैं। यदि वह वस्तु हमारी आंख के क्षैतिज स्तर (Horizontal level) से ऊपर है, तो हमें उसे देखने के लिए अपना सिर ऊपर उठाना पड़ता है, इस स्थिति में दृष्टि रेखा और क्षैतिज रेखा के बीच बनने वाले कोण को उन्नयन कोण कहते हैं। इसके विपरीत, जब हम किसी ऊंची इमारत की बालकनी में खड़े होकर नीचे सड़क पर जा रही कार को देखते हैं, तो हमें अपना सिर नीचे झुकाना पड़ता है। इस स्थिति में बनने वाले कोण को अवनमन कोण कहा जाता है। ज्यामिति के एकांतर कोणों (Alternate angles) के नियम के कारण, किसी स्थिति में अवनमन कोण और उन्नयन कोण का मान हमेशा समान होता है।
प्रश्नों को हल करते समय सबसे पहले दी गई जानकारी के आधार पर 1 सही समकोण त्रिभुज का चित्र (Figure) बनाना बहुत आवश्यक है। 1 बार सही चित्र बन गया, तो उपयुक्त त्रिकोणमितीय अनुपात (जैसे tan, sin या cos) का उपयोग करके हम आसानी से अज्ञात भुजा या कोण ज्ञात कर सकते हैं। NCERT और RBSE बोर्ड परीक्षा के दृष्टिकोण से यह अध्याय बहुत ही महत्वपूर्ण है। इस अध्याय से 1 बड़ा इबारती प्रश्न (Word problem) बोर्ड परीक्षा में निश्चित रूप से पूछा जाता है। अभ्यास से आप इन प्रश्नों को बहुत आसानी से और जल्दी हल करना सीख जाएंगे।
विशेषता: यह एक 3-Level आधारित यूनीक क्विज़ है। अगले स्तर (Level 2 और 3) को अनलॉक करने के लिए छात्रों को वर्तमान स्तर में कम से कम 70% अंक स्कोर करने होंगे, जो उनकी बोर्ड परीक्षा की तैयारी को 100% मजबूत बनाता है。
अध्याय के सभी प्रश्न (Revision Notes)
*नोट: यह सेक्शन रिवीजन के लिए है। अपना ज्ञान परखने के लिए ऊपर दिए गए क्विज़ में भाग लें।
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प्रेक्षक की आँख से देखी जाने वाली वस्तु के बिंदु को मिलाने वाली रेखा को क्या कहते हैं?
A) क्षैतिज रेखा | B) दृष्टि रेखा | C) उर्ध्वाधर रेखा | D) तिर्यक रेखा -
जब हम किसी वस्तु को देखने के लिए अपना सिर ऊपर उठाते हैं, तो दृष्टि रेखा और क्षैतिज रेखा के बीच कौन सा कोण बनता है?
A) अवनमन कोण | B) उन्नयन कोण | C) समकोण | D) सरल कोण -
यदि किसी खंभे की ऊँचाई और उसकी परछाई की लंबाई समान हो, तो सूर्य का उन्नयन कोण कितना होगा?
A) 30 डिग्री | B) 45 डिग्री | C) 60 डिग्री | D) 90 डिग्री -
जब हम किसी वस्तु को देखने के लिए अपना सिर नीचे झुकाते हैं, तो क्षैतिज स्तर और दृष्टि रेखा के बीच बनने वाला कोण क्या कहलाता है?
A) उन्नयन कोण | B) अवनमन कोण | C) पूरक कोण | D) शीर्षाभिमुख कोण -
एक मीनार के आधार से 20 मीटर दूर स्थित बिंदु से मीनार के शिखर का उन्नयन कोण 60 डिग्री है। मीनार की ऊँचाई क्या होगी?
A) 20 मीटर | B) 20√3 मीटर | C) 20/√3 मीटर | D) 40 मीटर -
उन्नयन कोण और अवनमन कोण हमेशा किस प्रकार की रेखाओं के सापेक्ष मापे जाते हैं?
A) उर्ध्वाधर रेखा | B) क्षैतिज रेखा | C) लंबवत रेखा | D) समांतर रेखा -
यदि 1 सीढ़ी दीवार के साथ 60 डिग्री का कोण बनाती है और उसका निचला सिरा दीवार से 5 मीटर दूर है, तो सीढ़ी की लंबाई क्या है?
A) 10 मीटर | B) 5√3 मीटर | C) 5 मीटर | D) 15 मीटर -
1 सर्कस का कलाकार 20 मीटर लंबी डोर पर चढ़ रहा है जो तनी हुई है और भूमि पर सीधे खंभे के शिखर से बंधी है। यदि डोर भूमि के साथ 30 डिग्री का कोण बनाती है, तो खंभे की ऊँचाई क्या है?
A) 10 मीटर | B) 20 मीटर | C) 30 मीटर | D) 15 मीटर -
किसी मीनार से दूर जाने पर उसके शिखर का उन्नयन कोण क्या होता है?
A) बढ़ता है | B) घटता है | C) समान रहता है | D) शून्य हो जाता है -
समानांतर रेखाओं के गुण के कारण, किसी प्रेक्षक के लिए अवनमन कोण हमेशा किसके बराबर होता है?
A) उर्ध्वाधर कोण | B) पूरक कोण | C) उन्नयन कोण | D) संपूरक कोण -
एक पतंग भूमि से 60 मीटर की ऊँचाई पर उड़ रही है। डोरी भूमि के साथ 60 डिग्री का कोण बनाती है। डोरी की लंबाई क्या होगी?
A) 40√3 मीटर | B) 20√3 मीटर | C) 60 मीटर | D) 120 मीटर -
आंधी आने से 1 पेड़ टूट जाता है और टूटा हुआ भाग भूमि के साथ 30 डिग्री का कोण बनाता है। पेड़ के पाद-बिंदु से जहाँ शिखर भूमि को छूता है, की दूरी 8 मीटर है। पेड़ की कुल ऊँचाई क्या थी?
A) 8√3 मीटर | B) 16/√3 मीटर | C) 24/√3 मीटर | D) 8 मीटर -
15 मीटर ऊँचा 1 टावर भूमि पर 15√3 मीटर लंबी परछाई बनाता है। उस समय सूर्य का उन्नयन कोण क्या होगा?
A) 30 डिग्री | B) 45 डिग्री | C) 60 डिग्री | D) 90 डिग्री -
भूमि के 1 बिंदु से 1 20 मीटर ऊंचे भवन के शिखर पर लगी संचार मीनार के तल और शिखर के उन्नयन कोण क्रमशः 45 डिग्री और 60 डिग्री हैं। संचार मीनार की ऊँचाई क्या है?
A) 20(√3 - 1) मीटर | B) 20√3 मीटर | C) 20(√3 + 1) मीटर | D) 40 मीटर -
1.5 मीटर लंबा 1 लड़का 30 मीटर ऊंचे 1 भवन से कुछ दूरी पर खड़ा है। जब वह भवन की ओर जाता है, तो उसकी आँख से भवन के शिखर का उन्नयन कोण 30 डिग्री से 60 डिग्री हो जाता है। वह कितनी दूरी चलकर गया?
A) 19√3 मीटर | B) 57/√3 मीटर | C) 38/√3 मीटर | D) 28.5 मीटर -
1 पेडस्टल के शिखर पर 1.6 मीटर ऊँची मूर्ति लगी है। भूमि के 1 बिंदु से मूर्ति के शिखर का उन्नयन कोण 60 डिग्री है और उसी बिंदु से पेडस्टल के शिखर का उन्नयन कोण 45 डिग्री है। पेडस्टल की ऊँचाई क्या है?
A) 0.8(√3 + 1) मीटर | B) 1.6(√3 - 1) मीटर | C) 0.8(√3 - 1) मीटर | D) 1.6 मीटर -
7 मीटर ऊंचे भवन के शिखर से 1 केबल टावर के शिखर का उन्नयन कोण 60 डिग्री है और इसके पाद का अवनमन कोण 45 डिग्री है। टावर की ऊँचाई क्या है?
A) 7(√3 + 1) मीटर | B) 7(√3 - 1) मीटर | C) 14 मीटर | D) 21 मीटर -
समुद्र तल से 75 मीटर ऊंचे लाइटहाउस के शिखर से देखने पर 2 समुद्री जहाजों के अवनमन कोण 30 डिग्री और 45 डिग्री हैं। यदि 1 जहाज दूसरे के ठीक पीछे है, तो जहाजों के बीच की दूरी क्या है?
A) 75(√3 - 1) मीटर | B) 75(√3 + 1) मीटर | C) 75 मीटर | D) 150 मीटर -
1 सीधा राजमार्ग 1 मीनार के पाद तक जाता है। मीनार के शिखर पर खड़ा 1 आदमी 1 कार को 30 डिग्री के अवनमन कोण पर देखता है। 6 सेकंड बाद कार का अवनमन कोण 60 डिग्री हो जाता है। मीनार तक पहुंचने में और कितना समय लगेगा?
A) 2 सेकंड | B) 3 सेकंड | C) 4 सेकंड | D) 6 सेकंड -
एक टीवी टावर 1 नहर के तट पर उर्ध्वाधर खड़ा है। ठीक सामने दूसरे तट के 1 बिंदु से टावर के शिखर का उन्नयन कोण 60 डिग्री है। इसी तट पर 20 मीटर दूर बिंदु से कोण 30 डिग्री है। नहर की चौड़ाई क्या है?
A) 10 मीटर | B) 20 मीटर | C) 10√3 मीटर | D) 20√3 मीटर -
मीनार के आधार से और 1 सरल रेखा में 4 मीटर और 9 मीटर की दूरी पर स्थित 2 बिंदुओं से मीनार के शिखर के उन्नयन कोण पूरक (Complementary) हैं। मीनार की ऊँचाई क्या होगी?
A) 5 मीटर | B) 6 मीटर | C) 7 मीटर | D) 8 मीटर -
1 झील के पानी की सतह से 60 मीटर ऊपर 1 बिंदु से 1 बादल का उन्नयन कोण 30 डिग्री है और पानी में उसके प्रतिबिंब का अवनमन कोण 60 डिग्री है। झील से बादल की ऊँचाई कितनी है?
A) 120 मीटर | B) 150 मीटर | C) 180 मीटर | D) 200 मीटर -
भूमि के 1 बिंदु P से 10 मीटर ऊंचे भवन के शिखर का उन्नयन कोण 30 डिग्री है। भवन पर 1 ध्वज है और P से ध्वज के शिखर का कोण 45 डिग्री है। ध्वजदंड की लंबाई क्या होगी?
A) 10(√3 - 1) मीटर | B) 10(√3 + 1) मीटर | C) 5(√3 - 1) मीटर | D) 7.32 मीटर -
2 खंभे जिनकी ऊँचाई 6 मीटर और 11 मीटर है, समतल भूमि पर खड़े हैं। यदि इनके पाद बिंदुओं के बीच की दूरी 12 मीटर है, तो इनके शिखरों के बीच की दूरी क्या होगी?
A) 11 मीटर | B) 12 मीटर | C) 13 मीटर | D) 15 मीटर -
1.2 मीटर लंबी 1 लड़की भूमि से 88.2 मीटर की ऊँचाई पर 1 क्षैतिज रेखा में उड़ रहे गुब्बारे को देखती है। कुछ समय बाद उन्नयन कोण 60 डिग्री से 30 डिग्री हो जाता है। इस अंतराल में गुब्बारे द्वारा तय की गई दूरी क्या है?
A) 58√3 मीटर | B) 29√3 मीटर | C) 87√3 मीटर | D) 116√3 मीटर -
समान ऊँचाई वाले 2 खंभे 1 80 मीटर चौड़ी सड़क के दोनों ओर आमने-सामने खड़े हैं। सड़क के 1 बिंदु से उनके शिखरों के उन्नयन कोण 60 डिग्री और 30 डिग्री हैं। खंभों की ऊँचाई क्या है?
A) 10√3 मीटर | B) 20√3 मीटर | C) 30√3 मीटर | D) 40√3 मीटर -
1 पेड़ का शिखर टूटकर भूमि पर 30 डिग्री का कोण बनाता है। यदि टूटे हुए हिस्से की लंबाई 10 मीटर है, तो पेड़ की मूल ऊँचाई क्या थी?
A) 10 + 5√3 मीटर | B) 15 मीटर | C) 15 + 5√3 मीटर | D) 10√3 मीटर -
हवा में उड़ते 1 विमान से 2 किलोमीटर पत्थरों के अवनमन कोण क्रमशः 45 डिग्री और 60 डिग्री हैं (विमान 1 ही दिशा में उड़ रहा है)। विमान की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
A) (3 - √3)/2 किलोमीटर | B) √3/(√3 - 1) किलोमीटर | C) 1.366 किलोमीटर | D) चारों विकल्प सही हैं -
1 दीवार के सहारे झुकी सीढ़ी का उन्नयन कोण 60 डिग्री है और सीढ़ी का पाद दीवार से 2.5 मीटर दूर है। सीढ़ी की लंबाई क्या है?
A) 2.5 मीटर | B) 5 मीटर | C) 7.5 मीटर | D) 10 मीटर -
यदि 1 गुब्बारा जो v चाल से ऊपर उठ रहा है, का उन्नयन कोण 1 प्रेक्षक (जो आधार से d दूरी पर है) के लिए α से β हो जाता है (t समय में), तो गुब्बारे की चाल क्या होगी?
A) d(tan β - tan α)/t | B) d(tan α - tan β)/t | C) d(sin β - sin α)/t | D) d(cos β - cos α)/t
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