10. वृत्त (Circles)
इस पेज पर आपको 10. वृत्त (Circles) के सभी महत्वपूर्ण बहुविकल्पीय प्रश्न (MCQ), परीक्षा उपयोगी नोट्स और ऑनलाइन क्विज़ मिलेंगे। अपने ज्ञान का परीक्षण करने और बोर्ड/प्रतियोगी परीक्षा में शत-प्रतिशत अंक प्राप्त करने के लिए नीचे दिए गए मॉक टेस्ट में अवश्य भाग लें।
👉 अध्याय का सारांश (Summary)
प्रिय विद्यार्थियों, कक्षा 10 गणित के दसवें अध्याय 'वृत्त' (Circles) में आपका हार्दिक स्वागत है। पिछली कक्षाओं में आपने वृत्त और उससे जुड़ी कई बुनियादी अवधारणाओं जैसे केंद्र, त्रिज्या, व्यास, जीवा और चाप के बारे में विस्तार से अध्ययन किया है। लेकिन इस अध्याय में, हम वृत्त और एक सरल रेखा के बीच के संबंधों का बहुत ही गहराई से विश्लेषण करेंगे। हमारे दैनिक जीवन में वृत्त के कई व्यावहारिक उदाहरण मौजूद हैं। साइकिल का पहिया, मोटरगाड़ियों के टायर, सिक्के, और मशीनों में लगी घिरनियाँ सभी वृत्ताकार होती हैं। जब एक साइकिल किसी सीधी सड़क पर चलती है, तो वह सड़क पहिए के लिए एक 'स्पर्श रेखा' (Tangent) का काम करती है, क्योंकि सड़क पहिए को केवल एक ही बिंदु पर छूती है।
इस अध्याय में हम मुख्य रूप से स्पर्श रेखा और छेदक रेखा (Secant) के बारे में जानेंगे। छेदक रेखा वह रेखा है जो वृत्त को 2 अलग-अलग बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करती है, जबकि स्पर्श रेखा वृत्त को केवल 1 ही बिंदु पर स्पर्श करती है। उस विशेष बिंदु को 'स्पर्श बिंदु' (Point of Contact) कहा जाता है। वृत्त की स्पर्श रेखाओं के गुणधर्मों को समझने के लिए हम 2 बहुत ही महत्वपूर्ण प्रमेयों का अध्ययन करेंगे जो बोर्ड परीक्षाओं में सिद्ध करने के लिए भी पूछी जाती हैं। पहली प्रमेय के अनुसार, वृत्त के किसी भी बिंदु पर खींची गई स्पर्श रेखा, स्पर्श बिंदु से होकर जाने वाली त्रिज्या पर हमेशा लंब (Perpendicular) होती है, अर्थात उनके बीच हमेशा 90 डिग्री का कोण बनता है।
दूसरी महत्वपूर्ण प्रमेय हमें बताती है कि वृत्त के बाहर स्थित किसी भी बाह्य बिंदु से वृत्त पर खींची गई 2 स्पर्श रेखाओं की लंबाइयां हमेशा आपस में बराबर होती हैं। मान लीजिए, किसी वृत्ताकार पार्क के बाहर खड़े होकर आप पार्क की बाउंड्री पर 2 अलग-अलग दिशाओं में ऐसी रेखाएं खींचते हैं जो पार्क को सिर्फ छूकर निकल जाएं, तो उन दोनों रेखाओं की लंबाई बिल्कुल समान होगी। इन प्रमेयों का उपयोग करके हम कई जटिल और विश्लेषणात्मक गणितीय समस्याओं को बहुत ही आसानी से हल कर सकते हैं। इन अवधारणाओं का उपयोग केवल स्कूल तक सीमित नहीं है, बल्कि वास्तुकला (Architecture), इंजीनियरिंग, और खगोल विज्ञान में भी वृत्त और स्पर्श रेखाओं के सिद्धांतों का व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है। जब कोई उपग्रह (Satellite) पृथ्वी की कक्षा से बाहर निकलता है, तो उसका प्रक्षेप पथ पृथ्वी की कक्षा के किसी बिंदु पर स्पर्श रेखा के अनुदिश ही होता है।
NCERT और RBSE बोर्ड परीक्षा 2027 के दृष्टिकोण से यह अध्याय बहुत महत्वपूर्ण और स्कोरिंग है। इस अध्याय से वस्तुनिष्ठ प्रश्नों के साथ-साथ प्रमेयों को सिद्ध करने वाले विश्लेषणात्मक प्रश्न भी अनिवार्य रूप से पूछे जाते हैं। इसलिए, ज्यामितीय आकृतियों को बनाकर उनका निरंतर अभ्यास करना आपके लिए बहुत लाभदायक रहेगा। सही दिशा में किया गया आपका यह प्रयास निश्चित रूप से आपको बोर्ड परीक्षा में शानदार अंक दिलाएगा।
विशेषता: यह एक 3-Level आधारित यूनीक क्विज़ है। अगले स्तर (Level 2 और 3) को अनलॉक करने के लिए छात्रों को वर्तमान स्तर में कम से कम 70% अंक स्कोर करने होंगे, जो उनकी बोर्ड परीक्षा की तैयारी को 100% मजबूत बनाता है。
अध्याय के सभी प्रश्न (Revision Notes)
*नोट: यह सेक्शन रिवीजन के लिए है। अपना ज्ञान परखने के लिए ऊपर दिए गए क्विज़ में भाग लें।
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वृत्त की स्पर्श रेखा (Tangent) उसे कितने बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करती है?
A) 1 | B) 2 | C) 3 | D) अनंत -
वृत्त को 2 बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करने वाली रेखा को क्या कहते हैं?
A) स्पर्श रेखा | B) छेदक रेखा | C) त्रिज्या | D) लंब रेखा -
वृत्त और उसकी स्पर्श रेखा के उभयनिष्ठ बिंदु को क्या कहा जाता है?
A) केंद्र | B) छेदक बिंदु | C) स्पर्श बिंदु | D) मध्य बिंदु -
एक वृत्त की अधिकतम कितनी समांतर स्पर्श रेखाएँ हो सकती हैं?
A) 1 | B) 2 | C) 3 | D) अनंत -
वृत्त के किसी बिंदु पर स्पर्श रेखा और स्पर्श बिंदु से जाने वाली त्रिज्या के बीच कितना कोण बनता है?
A) 45 डिग्री | B) 60 डिग्री | C) 90 डिग्री | D) 180 डिग्री -
वृत्त के अंदर स्थित किसी बिंदु से वृत्त पर कितनी स्पर्श रेखाएँ खींची जा सकती हैं?
A) 0 | B) 1 | C) 2 | D) अनंत -
वृत्त के बाहर स्थित किसी बिंदु से वृत्त पर अधिकतम कितनी स्पर्श रेखाएँ खींची जा सकती हैं?
A) 1 | B) 2 | C) 3 | D) 4 -
वृत्त की सबसे लंबी जीवा (Chord) को क्या कहा जाता है?
A) त्रिज्या | B) व्यास | C) छेदक रेखा | D) स्पर्श रेखा -
वृत्त पर स्थित किसी एक बिंदु से कितनी स्पर्श रेखाएँ खींची जा सकती हैं?
A) 1 | B) 2 | C) 3 | D) अनंत -
एक वृत्त की कुल कितनी स्पर्श रेखाएँ हो सकती हैं?
A) 1 | B) 2 | C) 4 | D) अनंत -
यदि किसी वृत्त के बाह्य बिंदु P से खींची गई स्पर्श रेखाएँ PA और PB परस्पर 80 डिग्री के कोण पर झुकी हों, तो कोण POA का मान क्या होगा?
A) 40 डिग्री | B) 50 डिग्री | C) 60 डिग्री | D) 80 डिग्री -
5 सेमी त्रिज्या वाले एक वृत्त के बिंदु P पर स्पर्श रेखा PQ केंद्र O से जाने वाली एक रेखा से बिंदु Q पर इस प्रकार मिलती है कि OQ = 12 सेमी है। PQ की लंबाई क्या होगी?
A) 12 सेमी | B) 13 सेमी | C) 8.5 सेमी | D) √119 सेमी -
एक बिंदु Q से एक वृत्त पर स्पर्श रेखा की लंबाई 24 सेमी तथा Q की केंद्र से दूरी 25 सेमी है। वृत्त की त्रिज्या क्या है?
A) 7 सेमी | B) 12 सेमी | C) 15 सेमी | D) 24.5 सेमी -
दो संकेंद्री (Concentric) वृत्तों की त्रिज्याएँ 5 सेमी और 3 सेमी हैं। बड़े वृत्त की उस जीवा की लंबाई ज्ञात कीजिए जो छोटे वृत्त को स्पर्श करती हो।
A) 4 सेमी | B) 6 सेमी | C) 8 सेमी | D) 10 सेमी -
एक वृत्त के परिगत एक चतुर्भुज ABCD खींचा गया है। यदि AB = 6 सेमी, BC = 7 सेमी और CD = 4 सेमी है, तो AD की लंबाई क्या होगी?
A) 3 सेमी | B) 4 सेमी | C) 5 सेमी | D) 6 सेमी -
यदि वृत्त की दो स्पर्श रेखाओं के बीच का कोण 60 डिग्री है और वृत्त की त्रिज्या 3 सेमी है, तो प्रत्येक स्पर्श रेखा की लंबाई क्या होगी?
A) 3√3 सेमी | B) 3 सेमी | C) 6 सेमी | D) √3 सेमी -
वृत्त के व्यास के सिरों पर खींची गई स्पर्श रेखाएँ आपस में कैसी होती हैं?
A) लंबवत | B) समांतर | C) प्रतिच्छेदी | D) संपाती -
यदि PA और PB केंद्र O वाले वृत्त पर खींची गई स्पर्श रेखाएँ हैं और कोण AOB = 120 डिग्री है, तो कोण APB का मान क्या होगा?
A) 30 डिग्री | B) 60 डिग्री | C) 90 डिग्री | D) 120 डिग्री -
3 सेमी त्रिज्या वाले वृत्त पर स्थित किसी बाह्य बिंदु P से केंद्र O की दूरी 5 सेमी है। बिंदु P से वृत्त पर खींची गई स्पर्श रेखा की लंबाई क्या होगी?
A) 3 सेमी | B) 4 सेमी | C) 5 सेमी | D) 6 सेमी -
किसी वृत्त के परिगत समांतर चतुर्भुज (Parallelogram) हमेशा किस प्रकार का चतुर्भुज होता है?
A) आयत | B) वर्ग | C) समचतुर्भुज | D) समलंब चतुर्भुज -
एक समकोण त्रिभुज ABC जिसमें कोण B = 90 डिग्री है, AB = 5 सेमी और BC = 12 सेमी है। इस त्रिभुज के अंतःवृत्त (Incircle) की त्रिज्या क्या होगी?
A) 2 सेमी | B) 3 सेमी | C) 4 सेमी | D) 5 सेमी -
बाह्य बिंदु T से वृत्त पर दो स्पर्श रेखाएँ TP और TQ खींची गई हैं। कोण PTQ और कोण OPQ के बीच क्या संबंध होता है?
A) कोण PTQ = कोण OPQ | B) कोण PTQ = 2 × कोण OPQ | C) कोण PTQ = 1/2 × कोण OPQ | D) कोण PTQ = 3 × कोण OPQ -
यदि 2 वृत्त एक-दूसरे को बाह्य रूप से स्पर्श करते हैं और उनके केंद्रों के बीच की दूरी 14 सेमी है, यदि एक वृत्त की त्रिज्या 6 सेमी है तो दूसरे वृत्त की त्रिज्या क्या होगी?
A) 6 सेमी | B) 8 सेमी | C) 10 सेमी | D) 20 सेमी -
'a' भुजा वाले एक समबाहु त्रिभुज के अंतःवृत्त (Incircle) की त्रिज्या क्या होती है?
A) a/√3 | B) a/2√3 | C) a/3 | D) a/√2 -
एक वृत्त त्रिभुज ABC की भुजा BC को P पर और बढ़ाई गई भुजाओं AB और AC को क्रमशः Q और R पर स्पर्श करता है। AQ की लंबाई किसके बराबर होगी?
A) त्रिभुज ABC का परिमाप | B) 1/2 × त्रिभुज ABC का परिमाप | C) 1/3 × त्रिभुज ABC का परिमाप | D) 2 × त्रिभुज ABC का परिमाप -
O केंद्र वाले वृत्त पर बाह्य बिंदु A से स्पर्श रेखा AB खींची गई है। यदि बिंदु A से वृत्त की सबसे छोटी दूरी 8 सेमी है और वृत्त की त्रिज्या 5 सेमी है, तो स्पर्श रेखा AB की लंबाई क्या है?
A) 10 सेमी | B) 12 सेमी | C) 14 सेमी | D) 16 सेमी -
दो समांतर स्पर्श रेखाओं के बीच की दूरी 10 सेमी है। उस वृत्त की त्रिज्या क्या होगी?
A) 5 सेमी | B) 10 सेमी | C) 20 सेमी | D) 2.5 सेमी -
यदि बिंदु P से वृत्त पर छेदक रेखा PAB और स्पर्श रेखा PT खींची गई है, और PA = 4 सेमी, AB = 5 सेमी है, तो PT की लंबाई क्या होगी?
A) 4 सेमी | B) 5 सेमी | C) 6 सेमी | D) 9 सेमी -
यदि एक षट्भुज (Hexagon) ABCDEF एक वृत्त के परिगत खींचा गया है, तो निम्न में से कौन सा संबंध सत्य है?
A) AB+CD+EF = BC+DE+FA | B) AB+BC+CD = DE+EF+FA | C) AB-CD+EF = 0 | D) चारों विकल्प सही हैं -
दो वृत्त एक-दूसरे को बिंदु P पर बाह्य रूप से स्पर्श करते हैं। P बिंदु पर उनकी उभयनिष्ठ स्पर्श रेखा (Common tangent) उनके केंद्रों को मिलाने वाली रेखा के साथ कितने डिग्री का कोण बनाती है?
A) 45 डिग्री | B) 60 डिग्री | C) 90 डिग्री | D) 180 डिग्री
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