7. निर्देशांक ज्यामिति (Coordinate Geometry)
इस पेज पर आपको 7. निर्देशांक ज्यामिति (Coordinate Geometry) के सभी महत्वपूर्ण बहुविकल्पीय प्रश्न (MCQ), परीक्षा उपयोगी नोट्स और ऑनलाइन क्विज़ मिलेंगे। अपने ज्ञान का परीक्षण करने और बोर्ड/प्रतियोगी परीक्षा में शत-प्रतिशत अंक प्राप्त करने के लिए नीचे दिए गए मॉक टेस्ट में अवश्य भाग लें।
👉 अध्याय का सारांश (Summary)
प्रिय विद्यार्थियों, कक्षा 10 गणित के सातवें अध्याय 'निर्देशांक ज्यामिति' (Coordinate Geometry) में आपका हार्दिक स्वागत है। यह अध्याय गणित की दो प्रमुख शाखाओं, बीजगणित (Algebra) और ज्यामिति (Geometry) के बीच एक बहुत ही सुंदर और मजबूत पुल का काम करता है। निर्देशांक ज्यामिति की सहायता से हम ज्यामितीय आकृतियों का अध्ययन बीजगणितीय समीकरणों के माध्यम से कर सकते हैं। महान फ्रांसीसी दार्शनिक और गणितज्ञ रेने डेसकार्टेस ने इस अद्भुत प्रणाली की खोज की थी, जिसे उनके सम्मान में कार्तीय निर्देशांक प्रणाली (Cartesian Coordinate System) कहा जाता है। इसमें हम एक समतल को दो लंबवत रेखाओं द्वारा 4 भागों (चतुर्थांशों) में बांटते हैं। क्षैतिज रेखा को x-अक्ष और ऊर्ध्वाधर रेखा को y-अक्ष कहा जाता है, और उनके प्रतिच्छेदन बिंदु को मूल बिंदु (Origin) कहते हैं जिसके निर्देशांक (0, 0) होते हैं।
हमारे दैनिक जीवन में निर्देशांक ज्यामिति का उपयोग बहुत व्यापक और महत्वपूर्ण है। जब आप अपने स्मार्टफोन में गूगल मैप्स (Google Maps) या जीपीएस (GPS) तकनीक का उपयोग करके किसी अज्ञात स्थान का रास्ता खोजते हैं, तो वह प्रणाली पूरी तरह से अक्षांश और देशांतर के रूप में निर्देशांक ज्यामिति पर ही काम कर रही होती है। इसी प्रकार, जब आप किसी बड़े सिनेमा हॉल या स्टेडियम में अपनी आरक्षित सीट ढूंढते हैं, तो पंक्ति संख्या (Row Number) और सीट संख्या (Seat Number) मिलकर एक सटीक निर्देशांक बनाते हैं जो आपको बिना किसी भ्रम के सीधे आपकी सही जगह पर पहुंचा देता है।
इस विस्तृत अध्याय में हम मुख्य रूप से तीन महत्वपूर्ण सूत्रों का अध्ययन करेंगे। पहला है 'दूरी सूत्र' (Distance Formula)। यदि आपको एक नक्शे पर 2 शहरों के निर्देशांक दिए गए हैं, तो आप इस सूत्र की मदद से उनके बीच की सटीक सीधी दूरी आसानी से निकाल सकते हैं। दूसरा सबसे महत्वपूर्ण सूत्र 'विभाजन सूत्र' (Section Formula) है। इसका उपयोग तब किया जाता है जब हमें किसी रेखाखंड को एक निश्चित अनुपात में बांटने वाले बिंदु के निर्देशांक ज्ञात करने हों। मान लीजिए कि एक बहुत लंबे पुल के निर्माण के दौरान इंजीनियरों को उसे 2 विशेष अनुपातों में बांटने के लिए खंभे लगाने हैं, तो वे सटीकता के लिए विभाजन सूत्र का ही उपयोग करेंगे। इसी में मध्य-बिंदु (Mid-point) का सूत्र भी शामिल है जो किसी भी रेखा के बिल्कुल बीच का बिंदु ज्ञात करने में सहायक होता है।
तीसरा और अंतिम महत्वपूर्ण विषय संरेखी बिंदुओं (Collinear Points) की अवधारणा और त्रिभुज का क्षेत्रफल है। यदि 3 बिंदु एक ही सीधी रेखा में स्थित हैं, तो उनसे बनने वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल हमेशा 0 होता है। इसके अलावा, हम दिए गए 3 शीर्षों के निर्देशांकों की मदद से किसी भी त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने का सूत्र भी सीखेंगे। यह विशिष्ट सूत्र खेतों या असमतल प्लॉट्स के क्षेत्रफल को मापने में पटवारियों और सिविल इंजीनियरों के लिए बहुत उपयोगी होता है। NCERT और RBSE बोर्ड परीक्षा 2027 के दृष्टिकोण से यह अध्याय अत्यंत स्कोरिंग है। बोर्ड परीक्षाओं में आमतौर पर दूरी सूत्र और विभाजन सूत्र पर आधारित व्यावहारिक और इबारती प्रश्न पूछे जाते हैं। निरंतर अभ्यास से आप इस अध्याय में बेहतरीन प्रदर्शन कर सकते हैं।
विशेषता: यह एक 3-Level आधारित यूनीक क्विज़ है। अगले स्तर (Level 2 और 3) को अनलॉक करने के लिए छात्रों को वर्तमान स्तर में कम से कम 70% अंक स्कोर करने होंगे, जो उनकी बोर्ड परीक्षा की तैयारी को 100% मजबूत बनाता है。
अध्याय के सभी प्रश्न (Revision Notes)
*नोट: यह सेक्शन रिवीजन के लिए है। अपना ज्ञान परखने के लिए ऊपर दिए गए क्विज़ में भाग लें।
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मूल बिंदु (Origin) के निर्देशांक क्या होते हैं?
A) (1, 1) | B) (0, 1) | C) (1, 0) | D) (0, 0) -
x-अक्ष पर स्थित किसी भी बिंदु का y-निर्देशांक क्या होता है?
A) 1 | B) 0 | C) -1 | D) x -
किसी बिंदु के x-निर्देशांक को क्या कहा जाता है?
A) कोटि (Ordinate) | B) भुज (Abscissa) | C) मूल बिंदु | D) चतुर्थांश -
बिंदु (3, 4) की x-अक्ष से दूरी कितनी है?
A) 3 | B) 4 | C) 5 | D) 7 -
बिंदु (-3, 5) कार्तीय तल के किस चतुर्थांश (Quadrant) में स्थित है?
A) प्रथम चतुर्थांश | B) द्वितीय चतुर्थांश | C) तृतीय चतुर्थांश | D) चतुर्थ चतुर्थांश -
दो बिंदुओं (x1, y1) और (x2, y2) के बीच की दूरी ज्ञात करने का सही सूत्र क्या है?
A) √((x2-x1)² + (y2-y1)²) | B) √((x2+x1)² + (y2+y1)²) | C) (x2-x1) + (y2-y1) | D) √((x2-x1) - (y2-y1)) -
बिंदु (0, -7) किस अक्ष पर स्थित है?
A) x-अक्ष पर | B) y-अक्ष पर | C) मूल बिंदु पर | D) प्रथम चतुर्थांश में -
बिंदुओं (x1, y1) और (x2, y2) को मिलाने वाले रेखाखंड के मध्य-बिंदु (Mid-point) के निर्देशांक क्या हैं?
A) (x1-x2)/2, (y1-y2)/2 | B) (x1+y1)/2, (x2+y2)/2 | C) (x1+x2)/2, (y1+y2)/2 | D) (x1x2)/2, (y1y2)/2 -
बिंदु (4, -5) की y-अक्ष से दूरी कितनी होगी?
A) 4 | B) 5 | C) -5 | D) -4 -
यदि 3 बिंदु संरेखी (Collinear) हैं, तो उनसे बनने वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल क्या होगा?
A) 1 | B) 0 | C) -1 | D) अनंत -
मूल बिंदु से बिंदु (p, q) की दूरी क्या होगी?
A) p + q | B) p² + q² | C) √(p² + q²) | D) √(p² - q²) -
बिंदुओं (0, 0) और (3, 4) के बीच की सटीक दूरी क्या है?
A) 5 | B) 7 | C) 25 | D) 12 -
बिंदुओं (2, 3) और (4, 1) को मिलाने वाले रेखाखंड के मध्य-बिंदु के निर्देशांक क्या होंगे?
A) (3, 2) | B) (2, 3) | C) (6, 4) | D) (1, 1) -
y-अक्ष पर वह बिंदु ज्ञात कीजिए जो बिंदुओं (6, 5) और (-4, 3) से समदूरस्थ (Equidistant) है।
A) (0, 7) | B) (0, 9) | C) (0, -9) | D) (0, 5) -
बिंदुओं (-5, 7) और (-1, 3) के बीच की दूरी कितनी है?
A) 2√2 | B) 3√2 | C) 4√2 | D) 5√2 -
उस बिंदु के निर्देशांक क्या हैं जो बिंदुओं (-1, 7) और (4, -3) को मिलाने वाले रेखाखंड को 2:3 के अनुपात में विभाजित करता है?
A) (1, 3) | B) (2, 4) | C) (-1, 3) | D) (1, -3) -
यदि किसी वृत्त के व्यास का एक सिरा (2, 4) है और उसका केंद्र (1, 2) है, तो व्यास का दूसरा सिरा क्या होगा?
A) (0, 0) | B) (1, 1) | C) (3, 6) | D) (2, 2) -
यदि बिंदु (1, 2), (4, y), (x, 6) और (3, 5) इसी क्रम में एक समांतर चतुर्भुज के शीर्ष हैं, तो x और y के मान क्या होंगे?
A) x=6, y=3 | B) x=3, y=6 | C) x=5, y=2 | D) x=2, y=5 -
क्या बिंदु (3, 2), (-2, -3) और (2, 3) एक त्रिभुज बनाते हैं? यदि हाँ, तो किस प्रकार का?
A) नहीं बनाते | B) हाँ, समबाहु त्रिभुज | C) हाँ, समद्विबाहु त्रिभुज | D) हाँ, समकोण त्रिभुज -
बिंदुओं (a, b) और (-a, -b) के बीच की दूरी क्या होगी?
A) 0 | B) 2√(a² + b²) | C) √(a² + b²) | D) a² + b² -
बिंदुओं (5, -6) और (-1, -4) को जोड़ने वाले रेखाखंड को y-अक्ष किस अनुपात में विभाजित करता है?
A) 1:5 | B) 5:1 | C) 2:3 | D) 3:2 -
उस त्रिभुज का क्षेत्रफल क्या होगा जिसके शीर्ष (2, 3), (-1, 0) और (2, -4) हैं?
A) 10.5 वर्ग मात्रक | B) 21 वर्ग मात्रक | C) 15 वर्ग मात्रक | D) 12.5 वर्ग मात्रक -
यदि बिंदु A(k+1, 2k), B(3k, 2k+3) और C(5k-1, 5k) संरेखी (Collinear) हैं, तो k का मान क्या होगा?
A) 1 | B) 2 | C) 3 | D) 4 -
x और y में वह संबंध ज्ञात कीजिए ताकि बिंदु (x, y) बिंदुओं (7, 1) और (3, 5) से समदूरस्थ हो।
A) x + y = 2 | B) x - y = 2 | C) 2x + y = 5 | D) x - 2y = 3 -
एक वृत्त के व्यास के सिरे (2, -5) और (2, 9) हैं। इस वृत्त की त्रिज्या (Radius) कितनी होगी?
A) 5 | B) 7 | C) 10 | D) 14 -
वह अनुपात ज्ञात कीजिए जिसमें बिंदु (-4, 6) बिंदुओं A(-6, 10) और B(3, -8) को मिलाने वाले रेखाखंड को विभाजित करता है।
A) 2:7 | B) 7:2 | C) 3:4 | D) 4:3 -
यदि किसी समचतुर्भुज (Rhombus) के शीर्ष इसी क्रम में (3, 0), (4, 5), (-1, 4) और (-2, -1) हैं, तो इसका क्षेत्रफल क्या होगा?
A) 12 वर्ग मात्रक | B) 24 वर्ग मात्रक | C) 36 वर्ग मात्रक | D) 48 वर्ग मात्रक -
एक त्रिभुज का गुरुत्व केंद्र (Centroid) (1, 4) है और इसके 2 शीर्ष (4, -3) और (-9, 7) हैं। तीसरे शीर्ष के निर्देशांक क्या होंगे?
A) (6, 6) | B) (8, 8) | C) (10, 10) | D) (4, 4) -
यदि बिंदु (x, y), (a, 0) और (0, b) संरेखी हैं, तो x/a + y/b का मान क्या होगा?
A) 0 | B) 1 | C) -1 | D) ab -
बिंदुओं P(-2, 5) और Q(3, 2) को मिलाने वाले रेखाखंड के समत्रिभाजन (Trisection) करने वाले उस बिंदु के निर्देशांक क्या होंगे जो P के निकट है?
A) (-1/3, 4) | B) (4/3, 3) | C) (-1, 4) | D) (1, 3)
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