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6. त्रिभुज (Triangles)

इस पेज पर आपको 6. त्रिभुज (Triangles) के सभी महत्वपूर्ण बहुविकल्पीय प्रश्न (MCQ), परीक्षा उपयोगी नोट्स और ऑनलाइन क्विज़ मिलेंगे। अपने ज्ञान का परीक्षण करने और बोर्ड/प्रतियोगी परीक्षा में शत-प्रतिशत अंक प्राप्त करने के लिए नीचे दिए गए मॉक टेस्ट में अवश्य भाग लें।

कक्षा 10 गणित अध्याय 6 'त्रिभुज' (Triangles) के लिए महत्वपूर्ण बहुविकल्पीय प्रश्न (MCQ)। 3-Level चैलेंज: अगले स्तर को अनलॉक करने के लिए 70% स्कोर करें!

👉 अध्याय का सारांश (Summary)

प्रिय विद्यार्थियों, कक्षा 10 गणित के छठे अध्याय 'त्रिभुज' (Triangles) में आपका हार्दिक स्वागत है। आपने अपनी पिछली कक्षाओं में त्रिभुजों और उनके सर्वांगसम (Congruent) होने के कई नियमों का विस्तार से अध्ययन किया है। सर्वांगसम आकृतियाँ वे होती हैं जिनका आकार (Shape) और आमाप (Size) दोनों बिल्कुल समान होते हैं। लेकिन इस अध्याय में हम एक नई और बहुत ही महत्वपूर्ण गणितीय अवधारणा के बारे में गहराई से सीखेंगे, जिसे 'समरूपता' (Similarity) कहा जाता है। समरूप आकृतियाँ वे होती हैं जिनका आकार तो एक जैसा होता है, लेकिन उनका आमाप (Size) समान होना बिल्कुल आवश्यक नहीं है। ज्यामिति में सभी वृत्त, सभी वर्ग और सभी समबाहु त्रिभुज हमेशा एक-दूसरे के समरूप होते हैं। इस अवधारणा को बेहतर ढंग से समझने के लिए आइए कुछ रोचक व्यावहारिक उदाहरणों पर विचार करते हैं। क्या आपने कभी सोचा है कि माउंट एवरेस्ट जैसी विशाल पहाड़ियों, आसमान को छूती बहुमंजिला इमारतों या खगोलीय दूरियों को कैसे मापा जाता है? इन विशाल ऊंचाइयों और दूरियों को मापने के लिए कोई बहुत बड़ा इंच टेप या मापक फीता नहीं होता है। इसके बजाय, हम समरूप त्रिभुजों के सिद्धांतों का ही बहुत चतुराई से उपयोग करते हैं। जब तेज धूप में एक छोटे डंडे की परछाई और एक विशाल पेड़ की परछाई एक ही समय पर बनती है, तो प्रकाश की किरणों से बनने वाले दोनों त्रिभुज समरूप होते हैं। इसी सरल लेकिन शक्तिशाली गणितीय तर्क का उपयोग करके हम पेड़ की सटीक ऊंचाई बहुत आसानी से निकाल सकते हैं। इसी प्रकार, जब कोई वास्तुकार (Architect) किसी बड़े शॉपिंग मॉल या अस्पताल का नक्शा बनाता है, तो वह सबसे पहले एक छोटा मॉडल (Model) तैयार करता है। यह छोटा मॉडल और असली विशाल इमारत एक-दूसरे के समरूप होते हैं, क्योंकि उनका बाहरी आकार बिल्कुल समान होता है, बस उनके अनुपात (Scale) का अंतर होता है। इस अध्याय का सबसे महत्वपूर्ण और केंद्रीय हिस्सा 'आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय' (Basic Proportionality Theorem) है, जिसे महान यूनानी दार्शनिक और गणितज्ञ थेल्स के सम्मान में 'थेल्स प्रमेय' (Thales Theorem) के नाम से भी जाना जाता है। यह प्रमेय हमें बताती है कि यदि किसी त्रिभुज की एक भुजा के समांतर अन्य दो भुजाओं को भिन्न-भिन्न बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करने के लिए एक सरल रेखा खींची जाए, तो ये अन्य दो भुजाएं एक ही समान अनुपात में विभाजित हो जाती हैं। बोर्ड परीक्षाओं में इस प्रमेय का कथन और इसके व्यावहारिक अनुप्रयोगों पर आधारित प्रश्न लगभग हर साल अनिवार्य रूप से पूछे जाते हैं। इसके अतिरिक्त, हम त्रिभुजों की समरूपता को सिद्ध करने वाली विभिन्न कसौटियों जैसे कि कोण-कोण-कोण (AAA), भुजा-भुजा-भुजा (SSS) और भुजा-कोण-भुजा (SAS) का भी विस्तार से अध्ययन करेंगे। इन सभी कसौटियों का सटीक उपयोग करके हम यह सिद्ध करते हैं कि दिए गए दो त्रिभुज आपस में समरूप हैं या नहीं। समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का अनुपात उनकी संगत भुजाओं के अनुपात के वर्ग के बराबर होता है, यह भी एक अत्यंत महत्वपूर्ण परिणाम है जो अक्सर कठिन इबारती सवालों (Word Problems) में काम आता है। NCERT और RBSE बोर्ड परीक्षा 2027 के दृष्टिकोण से त्रिभुज एक बहुत ही तार्किक और बेहतरीन स्कोरिंग अध्याय है। इसमें केवल प्रमेयों को रटने की बजाय आकृतियों के पीछे के तर्क को समझने और उनके वास्तविक अनुप्रयोग पर ध्यान देना चाहिए। निरंतर अभ्यास और सही मार्गदर्शन से आप निश्चित रूप से इस अध्याय में शत-प्रतिशत अंक प्राप्त कर सकते हैं। विशेषता: यह एक 3-Level आधारित यूनीक क्विज़ है। अगले स्तर (Level 2 और 3) को अनलॉक करने के लिए छात्रों को वर्तमान स्तर में कम से कम 70% अंक स्कोर करने होंगे, जो उनकी बोर्ड परीक्षा की तैयारी को 100% मजबूत बनाता है。

महत्वपूर्ण प्रश्न (Important Questions)

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विद्यार्थी पंजीकरण

क्विज़ के महत्वपूर्ण निर्देश:

  • सारे concept clear करने के बाद ही टेस्ट दें।
  • इस ऑनलाइन टेस्ट में सभी प्रश्न बहुविकल्पीय (MCQ) हैं।
  • प्रत्येक प्रश्न को ध्यानपूर्वक पढ़ें और सही विकल्प का चयन करें।
  • क्विज़ लिंक दोस्तों तक शेयर करें।
  • विशेष नियम: यह क्विज़ 3 स्तरों में है। अगला स्तर (Level) खोलने के लिए आपको वर्तमान स्तर में कम से कम 70% अंक लाने होंगे।
  • पूरा चैप्टर अच्छी तरह से याद करने के बाद ही क्विज में भाग ले
  • अपनी डिटेल सही भरें, क्विज़ सब्मिट करने के बाद feedback जरूर दे। अच्छे फीडबैक साइट के होम पेज पर प्रकाशित होंगे
  • सवालो को आराम से हल करें, जल्दीबाजी नहीं करें
  • टेस्ट सबमिट करने के बाद आपका स्कोर आपके शिक्षक के डैशबोर्ड पर प्रदर्शित होगा।
  • प्रतियोगी परीक्षाओं और बोर्ड परीक्षा की बेहतरीन तैयारी के लिए आप इस टेस्ट का बार-बार अभ्यास कर सकते हैं।
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प्रश्न 1 / 20
अध्याय के सभी प्रश्न (Revision Notes)

*नोट: यह सेक्शन रिवीजन के लिए है। अपना ज्ञान परखने के लिए ऊपर दिए गए क्विज़ में भाग लें।

  1. सभी वृत्त आकार में कैसे होते हैं?
    A) सर्वांगसम  |  B) समरूप  |  C) असमान  |  D) इनमें से कोई नहीं
  2. सभी वर्ग (Squares) ज्यामितीय रूप से कैसे होते हैं?
    A) समरूप  |  B) सर्वांगसम  |  C) असमानुपाती  |  D) चारों विकल्प सही हैं
  3. किस प्रकार के सभी त्रिभुज हमेशा समरूप होते हैं?
    A) समद्विबाहु त्रिभुज  |  B) समकोण त्रिभुज  |  C) समबाहु त्रिभुज  |  D) विषमबाहु त्रिभुज
  4. दो बहुभुज समरूप होते हैं यदि उनके संगत कोण बराबर हों और उनकी संगत भुजाएँ...
    A) बराबर हों  |  B) समानुपाती हों  |  C) समांतर हों  |  D) लंबवत हों
  5. आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय (BPT) को अन्य किस प्रसिद्ध नाम से जाना जाता है?
    A) पाइथागोरस प्रमेय  |  B) थेल्स प्रमेय  |  C) ब्रह्मगुप्त प्रमेय  |  D) आर्यभट्ट प्रमेय
  6. यदि दो त्रिभुजों के संगत कोण बराबर हों, तो वे त्रिभुज समरूप होते हैं। इस कसौटी को क्या कहते हैं?
    A) SSS समरूपता  |  B) SAS समरूपता  |  C) AAA समरूपता  |  D) RHS समरूपता
  7. सर्वांगसम (Congruent) आकृतियाँ हमेशा समरूप होती हैं, क्या यह कथन सत्य है?
    A) सत्य  |  B) असत्य  |  C) कहा नहीं जा सकता  |  D) केवल बहुभुजों के लिए
  8. क्या सभी समरूप आकृतियाँ हमेशा सर्वांगसम होती हैं?
    A) हाँ  |  B) नहीं  |  C) कहा नहीं जा सकता  |  D) केवल वृत्तों के लिए
  9. यदि त्रिभुज ABC समरूप है त्रिभुज PQR के, तो कोण B का संगत कोण कौन सा होगा?
    A) कोण P  |  B) कोण Q  |  C) कोण R  |  D) कोण A
  10. समरूप आकृतियों के आकार (Shape) कैसे होते हैं?
    A) भिन्न-भिन्न  |  B) समान  |  C) असमान  |  D) लंबवत
  11. त्रिभुज ABC में भुजा BC के समांतर एक रेखा DE है जो AB को D और AC को E पर काटती है। यदि AD/DB = 3/4 और AC = 14 सेमी है, तो AE का मान क्या होगा?
    A) 6 सेमी  |  B) 8 सेमी  |  C) 10 सेमी  |  D) 12 सेमी
  12. यदि दो समरूप त्रिभुजों की संगत भुजाओं का अनुपात 4:9 है, तो उनके क्षेत्रफलों का अनुपात क्या होगा?
    A) 2:3  |  B) 4:9  |  C) 16:81  |  D) 81:16
  13. यदि त्रिभुज ABC और DEF समरूप हैं और कोण A = 47 डिग्री, कोण E = 83 डिग्री है, तो कोण C का मान क्या होगा?
    A) 47 डिग्री  |  B) 50 डिग्री  |  C) 83 डिग्री  |  D) 130 डिग्री
  14. दी गई त्रिभुज की आकृति में यदि AD/DB = AE/EC है, तो थेल्स प्रमेय के विलोम (Converse) से क्या निष्कर्ष निकलता है?
    A) DE लंबवत है BC के  |  B) DE और BC समांतर हैं  |  C) DE और BC बराबर हैं  |  D) AD और AE बराबर हैं
  15. दो समद्विबाहु त्रिभुजों के शीर्ष कोण समान हैं और उनके क्षेत्रफलों का अनुपात 16:25 है। उनकी संगत ऊंचाइयों का अनुपात क्या होगा?
    A) 25:16  |  B) 16:25  |  C) 4:5  |  D) 5:4
  16. यदि त्रिभुज PQR समरूप है त्रिभुज XYZ के और PQ = 4 सेमी, XY = 8 सेमी है। यदि PQR का परिमाप 20 सेमी है, तो XYZ का परिमाप क्या होगा?
    A) 10 सेमी  |  B) 20 सेमी  |  C) 30 सेमी  |  D) 40 सेमी
  17. दिन के एक ही समय पर 1.5 मीटर लंबी लड़की की परछाई 4.5 मीटर है, जबकि एक टावर की परछाई 15 मीटर है। टावर की ऊंचाई क्या है?
    A) 4 मीटर  |  B) 5 मीटर  |  C) 6 मीटर  |  D) 7.5 मीटर
  18. दो समरूप त्रिभुजों के परिमाप क्रमशः 40 सेमी और 60 सेमी हैं। उनके क्षेत्रफलों का अनुपात क्या होगा?
    A) 4:9  |  B) 2:3  |  C) 16:81  |  D) 9:4
  19. एक समचतुर्भुज (Rhombus) के विकर्ण 16 सेमी और 12 सेमी हैं। इसकी एक भुजा की लंबाई क्या होगी?
    A) 8 सेमी  |  B) 9 सेमी  |  C) 10 सेमी  |  D) 12 सेमी
  20. त्रिभुज ABC में, AB = 6√3 सेमी, AC = 12 सेमी और BC = 6 सेमी है। कोण B का मान क्या होगा?
    A) 120 डिग्री  |  B) 60 डिग्री  |  C) 90 डिग्री  |  D) 45 डिग्री
  21. किसी त्रिभुज की तीनों भुजाओं के मध्य-बिंदुओं को मिलाने से बनने वाले चार त्रिभुज मूल त्रिभुज के साथ कैसे होते हैं?
    A) सर्वांगसम  |  B) समरूप  |  C) असमान  |  D) इनमें से कोई नहीं
  22. यदि दो समरूप त्रिभुजों की संगत माध्यिकाओं (Medians) का अनुपात 5:7 है, तो उनकी संगत भुजाओं का अनुपात क्या होगा?
    A) 25:49  |  B) 5:7  |  C) 7:5  |  D) 49:25
  23. एक समबाहु त्रिभुज ABC की प्रत्येक भुजा 2a है। इसके प्रत्येक शीर्षलंब (Altitude) की लंबाई क्या होगी?
    A) a√2  |  B) a√3  |  C) 2a√3  |  D) 3a
  24. त्रिभुज PQR में बिंदु S और T क्रमशः भुजाओं PQ और PR पर इस प्रकार हैं कि PS/SQ = PT/TR है और कोण PST = कोण PRQ है। तो PQR किस प्रकार का त्रिभुज है?
    A) समबाहु त्रिभुज  |  B) समकोण त्रिभुज  |  C) समद्विबाहु त्रिभुज  |  D) विषमबाहु त्रिभुज
  25. एक समलंब (Trapezium) ABCD में AB और DC समांतर हैं और इसके विकर्ण बिंदु O पर प्रतिच्छेद करते हैं। यदि AB = 2CD है, तो त्रिभुज AOB और त्रिभुज COD के क्षेत्रफलों का अनुपात क्या होगा?
    A) 1:4  |  B) 2:1  |  C) 4:1  |  D) 1:2
  26. त्रिभुज ABC एक समद्विबाहु त्रिभुज है जिसमें AC = BC है। यदि AB² = 2AC² है, तो त्रिभुज ABC कैसा त्रिभुज है?
    A) न्यूनकोण त्रिभुज  |  B) समबाहु त्रिभुज  |  C) समकोण त्रिभुज  |  D) अधिककोण त्रिभुज
  27. 10 मीटर लंबी एक सीढ़ी दीवार पर टिकाने पर भूमि से 8 मीटर की ऊंचाई पर स्थित एक खिड़की तक पहुंचती है। दीवार के आधार से सीढ़ी के निचले सिरे की दूरी क्या है?
    A) 4 मीटर  |  B) 5 मीटर  |  C) 6 मीटर  |  D) 7 मीटर
  28. दो समरूप त्रिभुजों ABC और PQR के क्षेत्रफल क्रमशः 64 वर्ग सेमी और 121 वर्ग सेमी हैं। यदि QR = 15.4 सेमी है, तो BC का मान क्या होगा?
    A) 11.2 सेमी  |  B) 12.1 सेमी  |  C) 15.4 सेमी  |  D) 9.8 सेमी
  29. एक हवाई जहाज उत्तर की ओर 1000 किमी/घंटा और दूसरा पश्चिम की ओर 1200 किमी/घंटा की चाल से उड़ता है। 1.5 घंटे बाद दोनों के बीच की दूरी क्या होगी?
    A) 300√61 किमी  |  B) 200√61 किमी  |  C) 400√61 किमी  |  D) 500√61 किमी
  30. यदि त्रिभुज ABC में AD लंब है BC पर और AD² = BD × DC है, तो कोण A का मान क्या होगा?
    A) 45 डिग्री  |  B) 60 डिग्री  |  C) 90 डिग्री  |  D) 120 डिग्री
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