5. समांतर श्रेढ़ियाँ (Arithmetic Progressions)
इस पेज पर आपको 5. समांतर श्रेढ़ियाँ (Arithmetic Progressions) के सभी महत्वपूर्ण बहुविकल्पीय प्रश्न (MCQ), परीक्षा उपयोगी नोट्स और ऑनलाइन क्विज़ मिलेंगे। अपने ज्ञान का परीक्षण करने और बोर्ड/प्रतियोगी परीक्षा में शत-प्रतिशत अंक प्राप्त करने के लिए नीचे दिए गए मॉक टेस्ट में अवश्य भाग लें।
👉 अध्याय का सारांश (Summary)
प्रिय विद्यार्थियों, कक्षा 10 गणित के पाँचवें अध्याय 'समांतर श्रेढ़ियाँ' (Arithmetic Progressions या AP) में आपका हार्दिक स्वागत है। यह अध्याय गणित का एक अत्यंत व्यावहारिक और रोचक हिस्सा है, जो हमें संख्याओं के पैटर्न और क्रम को समझने में मदद करता है। दैनिक जीवन में, आप अक्सर ऐसे पैटर्न देखते होंगे जहाँ चीजें एक निश्चित क्रम में बढ़ती या घटती हैं। उदाहरण के लिए, यदि आप एक गुल्लक में हर महीने 50 रुपये डालते हैं, तो पहले महीने 50 रुपये, दूसरे महीने 100 रुपये, तीसरे महीने 150 रुपये और इसी तरह आपकी बचत बढ़ती जाती है। यहाँ हर महीने 50 रुपये का एक निश्चित अंतर है। संख्याओं की ऐसी सूची जिसमें प्रत्येक पद (पहले पद को छोड़कर) अपने पिछले पद में एक निश्चित संख्या जोड़कर प्राप्त होता है, समांतर श्रेढ़ी कहलाती है।
इस निश्चित संख्या को हम 'सार्व अंतर' (Common Difference) कहते हैं, जिसे 'd' से दर्शाया जाता है। यह सार्व अंतर धनात्मक, ऋणात्मक या शून्य भी हो सकता है। AP के प्रथम पद को 'a' द्वारा दर्शाया जाता है। इस अध्याय में हम मुख्य रूप से दो महत्वपूर्ण सूत्रों का अध्ययन करेंगे। पहला सूत्र AP का nवाँ पद (n-th term) ज्ञात करने के लिए है: an = a + (n - 1)d। मान लीजिए, किसी कंपनी में आपकी शुरुआती सैलरी 20000 रुपये है और हर साल आपको 1500 रुपये की वेतन वृद्धि मिलती है। यदि आपसे पूछा जाए कि 15वें वर्ष में आपका वेतन कितना होगा, तो आप इस सूत्र का उपयोग करके मिनटों में सटीक गणना कर सकते हैं।
दूसरा महत्वपूर्ण सूत्र AP के प्रथम n पदों का योगफल (Sum of n terms) ज्ञात करने के लिए है: Sn = n/2 [2a + (n - 1)d] या Sn = n/2 [a + l], जहाँ 'l' अंतिम पद है। इसका उपयोग तब होता है जब हमें एक पूरी श्रृंखला का कुल योग निकालना हो। उदाहरण के तौर पर, यदि एक सभागार (Auditorium) में कुर्सियों की पहली पंक्ति में 20 कुर्सियाँ हैं, दूसरी में 22, तीसरी में 24, और इसी तरह कुल 30 पंक्तियाँ हैं, तो पूरे सभागार में कुल कितनी कुर्सियाँ हैं? यह जानने के लिए योगफल का सूत्र सबसे बेहतरीन तरीका है।
NCERT और RBSE बोर्ड परीक्षा के दृष्टिकोण से यह अध्याय बहुत ही स्कोरिंग है। इसमें से सीधे सूत्र आधारित और व्यावहारिक जीवन से जुड़े इबारती प्रश्न (Word Problems) अक्सर पूछे जाते हैं। इन सूत्रों के नियमित अभ्यास से आपकी गणना की गति और सटीकता दोनों में सुधार होगा, जो आपको परीक्षा में पूरे अंक दिलाने में मदद करेगा।
विशेषता: यह एक 3-Level आधारित यूनीक क्विज़ है। अगले स्तर (Level 2 और 3) को अनलॉक करने के लिए छात्रों को वर्तमान स्तर में कम से कम 70% अंक स्कोर करने होंगे, जो उनकी बोर्ड परीक्षा की तैयारी को 100% मजबूत बनाता है。
अध्याय के सभी प्रश्न (Revision Notes)
*नोट: यह सेक्शन रिवीजन के लिए है। अपना ज्ञान परखने के लिए ऊपर दिए गए क्विज़ में भाग लें।
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AP: 2, 4, 6, 8... का सार्व अंतर (Common Difference) क्या है?
A) 1 | B) 2 | C) 3 | D) 4 -
यदि प्रथम पद a = 10 और सार्व अंतर d = 10 है, तो AP के प्रथम चार पद क्या होंगे?
A) 10, 20, 30, 40 | B) 10, 10, 10, 10 | C) 10, 11, 12, 13 | D) 0, 10, 20, 30 -
समांतर श्रेढ़ी का nवाँ पद (n-th term) ज्ञात करने का सही सूत्र क्या है?
A) an = a + nd | B) an = a + (n - 1)d | C) an = a + (n + 1)d | D) an = (a + n)d -
AP: 3, 1, -1, -3... का प्रथम पद 'a' और सार्व अंतर 'd' क्या है?
A) a = 3, d = 2 | B) a = 1, d = 2 | C) a = 3, d = -2 | D) a = -3, d = -2 -
क्या संख्याओं की सूची 1, 1, 2, 3, 5... एक समांतर श्रेढ़ी (AP) है?
A) हाँ | B) नहीं | C) तय नहीं कर सकते | D) केवल सम संख्याओं के लिए -
AP: 10, 7, 4... का 30वाँ पद क्या है?
A) 97 | B) 77 | C) -77 | D) -87 -
किसी समांतर श्रेढ़ी का सार्व अंतर (d) कैसा हो सकता है?
A) धनात्मक | B) ऋणात्मक | C) शून्य | D) चारों विकल्प सही हैं -
AP के प्रथम n पदों का योगफल (Sn) ज्ञात करने का सूत्र क्या है?
A) n/2 [2a + (n - 1)d] | B) n/2 [a + (n - 1)d] | C) n [2a + (n - 1)d] | D) n/2 [2a + nd] -
यदि AP का प्रथम पद 'a' और अंतिम पद 'l' दिया हो, तो योगफल ज्ञात करने का संक्षिप्त सूत्र क्या है?
A) n/2 (a - l) | B) n (a + l) | C) n/2 (a + l) | D) n/2 (2a + l) -
1 से 100 तक की सभी प्राकृत (Natural) संख्याओं का योगफल क्या होगा?
A) 5000 | B) 5050 | C) 5100 | D) 5500 -
AP: 3, 8, 13, 18... का कौन सा पद 78 है?
A) 14वाँ पद | B) 15वाँ पद | C) 16वाँ पद | D) 17वाँ पद -
उस AP का 31वाँ पद ज्ञात कीजिए, जिसका 11वाँ पद 38 और 16वाँ पद 73 है।
A) 178 | B) 168 | C) 158 | D) 148 -
यदि किसी AP का तीसरा पद 4 और 9वाँ पद -8 है, तो इसका कौन सा पद शून्य (0) होगा?
A) तीसरा पद | B) चौथा पद | C) पाँचवाँ पद | D) छठा पद -
दो अंकों की कितनी संख्याएँ 3 से पूरी तरह विभाज्य हैं?
A) 20 | B) 25 | C) 30 | D) 35 -
AP: 10, 7, 4... -62 का अंतिम पद से (प्रथम पद की ओर) 11वाँ पद क्या होगा?
A) -22 | B) -32 | C) -42 | D) -52 -
किसी AP के प्रथम 14 पदों का योग 1050 है और इसका प्रथम पद 10 है। इसका 20वाँ पद क्या होगा?
A) 180 | B) 190 | C) 200 | D) 210 -
8 के प्रथम 15 गुणजों (Multiples) का योग ज्ञात कीजिए।
A) 900 | B) 960 | C) 1000 | D) 1060 -
यदि किसी AP के प्रथम 7 पदों का योग 49 है और प्रथम 17 पदों का योग 289 है, तो इसके प्रथम n पदों का योग क्या होगा?
A) n | B) 2n | C) n² | D) n³ -
AP: 24, 21, 18... के कितने पद लिए जाएं ताकि उनका योगफल 78 हो?
A) केवल 4 | B) केवल 13 | C) 4 और 13 | D) 10 -
0 और 50 के बीच की सभी विषम संख्याओं का योग ज्ञात कीजिए।
A) 500 | B) 600 | C) 625 | D) 650 -
सुब्बा राव ने 1995 में 5000 रुपये के मासिक वेतन पर कार्य शुरू किया और हर साल 200 रुपये की वृद्धि प्राप्त की। किस वर्ष में उनका वेतन 7000 रुपये हो गया?
A) 9वें वर्ष में | B) 10वें वर्ष में | C) 11वें वर्ष में | D) 12वें वर्ष में -
यदि किसी AP का pवाँ पद q है और qवाँ पद p है, तो उसका nवाँ पद क्या होगा?
A) p + q - n | B) p - q + n | C) p + q + n | D) n - p - q -
यदि किसी AP के प्रथम m पदों का योग, उसके प्रथम n पदों के योग के बराबर है, तो प्रथम (m + n) पदों का योग क्या होगा?
A) m + n | B) m - n | C) 0 | D) mn -
एक ठेकेदार पर विलंब से कार्य पूरा करने पर जुर्माना लगता है: पहले दिन 200, दूसरे दिन 250... यदि उसने 30 दिन का विलंब किया है, तो कुल जुर्माना कितना होगा?
A) 25750 रुपये | B) 26750 रुपये | C) 27750 रुपये | D) 28750 रुपये -
200 लट्ठों (logs) को रखा गया है: सबसे नीचे 20, उससे ऊपर 19... ये 200 लट्ठे कुल कितनी पंक्तियों में रखे गए हैं?
A) 15 | B) 16 | C) 20 | D) 25 -
यदि a, b, और c एक समांतर श्रेढ़ी (AP) में हैं, तो (a - b) / (b - c) का मान क्या होगा?
A) -1 | B) 0 | C) 1 | D) 2 -
एक बहुभुज के अंतः कोण AP में हैं। सबसे छोटा कोण 120 डिग्री है और सार्व अंतर 5 है। बहुभुज की भुजाओं की संख्या क्या है?
A) 7 | B) 9 | C) 11 | D) 16 -
एक AP के प्रथम, द्वितीय और अंतिम पद क्रमशः a, b और 2a हैं। इसका कुल योगफल क्या होगा?
A) 3ab / (b - a) | B) 3ab / 2(b - a) | C) ab / 2(b - a) | D) 3a / 2(b - a) -
रामकली ने प्रथम सप्ताह में 50 रुपये बचाए और साप्ताहिक बचत 17.5 रुपये बढ़ाती गई। यदि nवें सप्ताह में उसकी बचत 207.50 रुपये है, तो n का मान क्या है?
A) 8 | B) 9 | C) 10 | D) 11 -
उस AP का सार्व अंतर (d) क्या होगा जिसके प्रथम n पदों का योगफल 3n² + 5n है?
A) 4 | B) 5 | C) 6 | D) 8
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