4. द्विघात समीकरण (Quadratic Equations)
इस पेज पर आपको 4. द्विघात समीकरण (Quadratic Equations) के सभी महत्वपूर्ण बहुविकल्पीय प्रश्न (MCQ), परीक्षा उपयोगी नोट्स और ऑनलाइन क्विज़ मिलेंगे। अपने ज्ञान का परीक्षण करने और बोर्ड/प्रतियोगी परीक्षा में शत-प्रतिशत अंक प्राप्त करने के लिए नीचे दिए गए मॉक टेस्ट में अवश्य भाग लें।
👉 अध्याय का सारांश (Summary)
प्रिय विद्यार्थियों, कक्षा 10 गणित के चौथे अध्याय 'द्विघात समीकरण' (Quadratic Equations) में आपका हार्दिक स्वागत है। यह अध्याय बीजगणित का एक अत्यंत महत्वपूर्ण स्तंभ है, जो वास्तविक जीवन की जटिल समस्याओं को सरलता से हल करने की गणितीय शक्ति प्रदान करता है। द्विघात समीकरण वह समीकरण है जिसमें चर राशि की अधिकतम घात 2 होती है। इसका मानक रूप ax² + bx + c = 0 होता है, जहाँ a, b और c वास्तविक संख्याएँ हैं और a कभी भी 0 के बराबर नहीं हो सकता।
दैनिक जीवन में द्विघात समीकरणों का उपयोग कई जगहों पर होता है। मान लीजिए, आप एक ऐसा आयताकार खेल का मैदान बनाना चाहते हैं जिसका क्षेत्रफल 800 वर्ग मीटर हो और जिसकी लंबाई उसकी चौड़ाई की दोगुनी हो। इस स्थिति में, मैदान की लंबाई और चौड़ाई का सटीक अनुमान लगाने और उसे ज्ञात करने के लिए आपको द्विघात समीकरण का ही निर्माण करना होगा। इसी प्रकार, जब कोई खिलाड़ी क्रिकेट की गेंद को हवा में उछालता है या कोई मिसाइल प्रक्षेपित की जाती है, तो उस वस्तु द्वारा तय किया गया पथ एक परवलय (Parabola) होता है, और उस पथ की ऊंचाई और समय को भी एक द्विघात समीकरण द्वारा ही सटीक रूप से मापा जाता है। व्यापार में अधिकतम लाभ और न्यूनतम हानि की गणना, और भौतिक विज्ञान में किसी गतिमान वस्तु के वेग और दूरी का अध्ययन करने में भी यह गणितीय उपकरण अत्यंत उपयोगी और अनिवार्य है।
इस विस्तृत अध्याय में हम द्विघात समीकरणों को हल करने की प्रमुख विधियों का गहराई से अध्ययन करेंगे। इसमें मुख्य रूप से गुणनखंड विधि (Factorization Method) और द्विघाती सूत्र (Quadratic Formula) शामिल हैं, जिसे हम महान भारतीय गणितज्ञ श्रीधराचार्य के सूत्र के नाम से भी जानते हैं। गुणनखंड विधि में हम समीकरण के मध्य पद को इस प्रकार विभक्त करते हैं कि उनका जोड़ मध्य पद के बराबर हो और उनका गुणनफल प्रथम और अंतिम पद के गुणांकों के गुणनफल के बराबर हो। दूसरी ओर, श्रीधराचार्य सूत्र सीधे तौर पर हमें चर राशि का मान देता है, जो विशेष रूप से तब बहुत काम आता है जब बड़ी संख्याओं का गुणनखंड करना कठिन और समय लेने वाला प्रतीत होता है।
इसके अतिरिक्त, इस अध्याय का एक और सबसे महत्वपूर्ण और अंकदायी हिस्सा मूलों की प्रकृति (Nature of Roots) को समझना और ज्ञात करना है। इसके लिए हम विविक्तकर (Discriminant) का उपयोग करते हैं जिसे b² - 4ac द्वारा दर्शाया जाता है। यदि इस विविक्तकर का मान 0 से बड़ा है, तो द्विघात समीकरण के 2 भिन्न और वास्तविक मूल (Roots) प्राप्त होते हैं। यदि इसका मान ठीक 0 के बराबर है, तो दोनों मूल एकदम समान और वास्तविक होते हैं। लेकिन यदि इसका मान 0 से छोटा (ऋणात्मक) है, तो उस समीकरण का कोई वास्तविक मूल नहीं होता है। NCERT और RBSE बोर्ड परीक्षा 2027 के दृष्टिकोण से यह विषय वस्तु अत्यंत महत्वपूर्ण है, क्योंकि इसमें से हर साल मूलों की प्रकृति और इबारती सवालों पर आधारित प्रश्न सीधे तौर पर पूछे जाते हैं। इन अवधारणाओं का नियमित अभ्यास न केवल आपके तार्किक गणितीय कौशल को निखारेगा बल्कि आगामी बोर्ड परीक्षाओं में आपके शत-प्रतिशत अंकों को भी सुनिश्चित करेगा।
विशेषता: यह एक 3-Level आधारित यूनीक क्विज़ है। अगले स्तर (Level 2 और 3) को अनलॉक करने के लिए छात्रों को वर्तमान स्तर में कम से कम 70% अंक स्कोर करने होंगे, जो उनकी बोर्ड परीक्षा की तैयारी को 100% मजबूत बनाता है。
अध्याय के सभी प्रश्न (Revision Notes)
*नोट: यह सेक्शन रिवीजन के लिए है। अपना ज्ञान परखने के लिए ऊपर दिए गए क्विज़ में भाग लें।
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द्विघात समीकरण का मानक रूप (Standard form) क्या है?
A) ax + b = 0 | B) ax² + bx + c = 0 | C) ax³ + bx² + c = 0 | D) ax² + c = 0 -
एक द्विघात समीकरण में चर (Variable) की अधिकतम घात कितनी होती है?
A) 1 | B) 2 | C) 3 | D) 4 -
द्विघात समीकरण ax² + bx + c = 0 के लिए विविक्तकर (Discriminant) D का सूत्र क्या है?
A) b² + 4ac | B) b² - 4ac | C) b - 4ac | D) 4ac - b² -
यदि विविक्तकर D = 0 हो, तो द्विघात समीकरण के मूल कैसे होंगे?
A) वास्तविक और असमान | B) वास्तविक और समान | C) अवास्तविक (काल्पनिक) | D) चारों विकल्प सही हैं -
समीकरण x² - 9 = 0 के मूल क्या होंगे?
A) केवल 3 | B) केवल -3 | C) 3 और -3 | D) 9 और -9 -
निम्नलिखित में से कौन सा एक द्विघात समीकरण नहीं है?
A) x² - 4x + 4 = 0 | B) x(x + 2) = 5 | C) x³ - x² = 0 | D) 2x² = 8 -
यदि D < 0 (विविक्तकर ऋणात्मक है), तो मूलों की प्रकृति कैसी होगी?
A) वास्तविक मूल | B) समान मूल | C) कोई वास्तविक मूल नहीं | D) अनंत मूल -
एक द्विघात समीकरण के अधिकतम कितने मूल (Roots) हो सकते हैं?
A) 1 | B) 2 | C) 3 | D) अनंत -
श्रीधराचार्य सूत्र (Quadratic Formula) में x का मान निकालने का सही सूत्र क्या है?
A) (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a | B) (b ± √(b² - 4ac)) / 2a | C) (-b ± √(b² + 4ac)) / 2a | D) (-b ± √(b² - 4ac)) / a -
समीकरण 2x² - 8 = 0 में a, b और c के मान क्रमशः क्या हैं?
A) 2, 8, 0 | B) 2, 0, -8 | C) 2, -8, 0 | D) 0, 2, -8 -
समीकरण 2x² - 4x + 3 = 0 का विविक्तकर (Discriminant) क्या होगा?
A) 8 | B) -8 | C) 40 | D) -40 -
k के किस मान के लिए द्विघात समीकरण 2x² + kx + 3 = 0 के दो बराबर मूल होंगे?
A) 2√6 | B) -2√6 | C) 2√6 और -2√6 दोनों | D) 6 -
द्विघात समीकरण x² - 5x + 6 = 0 के मूल ज्ञात कीजिए।
A) -2, -3 | B) 2, 3 | C) 1, 6 | D) -1, -6 -
यदि किसी द्विघात समीकरण का एक मूल 2 है और समीकरण x² + kx - 6 = 0 है, तो k का मान क्या होगा?
A) 1 | B) -1 | C) 2 | D) -2 -
समीकरण x² + x + 1 = 0 के मूलों की प्रकृति कैसी होगी?
A) वास्तविक और समान | B) वास्तविक और असमान | C) कोई वास्तविक मूल नहीं | D) निर्धारित नहीं किया जा सकता -
दो क्रमागत धनात्मक पूर्णांकों का गुणनफल 306 है। पूर्णांक ज्ञात करने के लिए सही समीकरण क्या होगा (यदि पहला पूर्णांक x है)?
A) x² + x - 306 = 0 | B) x² - x + 306 = 0 | C) x² + 2x - 306 = 0 | D) 2x² + x - 306 = 0 -
यदि द्विघात समीकरण ax² + bx + c = 0 के मूल समान हैं, तो उन मूलों का मान क्या होगा?
A) b/2a | B) -b/2a | C) c/a | D) -c/a -
समीकरण 3x² - 6x + 2 = 0 के मूलों का योगफल क्या होगा?
A) -2 | B) 2 | C) 3 | D) 6 -
एक आयताकार भूखंड का क्षेत्रफल 528 वर्ग मीटर है। क्षेत्र की लंबाई उसकी चौड़ाई के दोगुने से 1 अधिक है। इसे समीकरण में कैसे लिखेंगे (यदि चौड़ाई x है)?
A) x(x + 1) = 528 | B) x(2x + 1) = 528 | C) 2x(x + 1) = 528 | D) x(2x - 1) = 528 -
समीकरण (x - 2)² + 1 = 2x - 3 को हल करने पर यह किस प्रकार का समीकरण प्राप्त होता है?
A) रैखिक समीकरण | B) द्विघात समीकरण | C) त्रिघात समीकरण | D) समीकरण नहीं है -
एक रेलगाड़ी 360 किमी की दूरी एकसमान चाल से तय करती है। यदि चाल 5 किमी/घंटा अधिक होती, तो उसे 1 घंटा कम लगता। रेलगाड़ी की मूल चाल क्या है?
A) 35 किमी/घंटा | B) 40 किमी/घंटा | C) 45 किमी/घंटा | D) 50 किमी/घंटा -
समीकरण √2x² + 7x + 5√2 = 0 के मूल क्या होंगे?
A) -√2 और 5/√2 | B) -√2 और -5/√2 | C) √2 और 5/√2 | D) √2 और -5/√2 -
दो मित्रों की आयु का योग 20 वर्ष है। 4 वर्ष पूर्व उनकी आयु का गुणनफल 48 था। उनकी वर्तमान आयु क्या है?
A) 12 और 8 | B) 14 और 6 | C) 10 और 10 | D) स्थिति संभव नहीं है -
दो पानी के नल एक साथ एक हौज को 75/8 घंटों में भर सकते हैं। बड़े व्यास वाला नल छोटे नल से 10 घंटे कम समय लेता है। छोटा नल अकेले हौज को कितने समय में भरेगा?
A) 15 घंटे | B) 20 घंटे | C) 25 घंटे | D) 30 घंटे -
एक मोटर बोट जिसकी शांत जल में चाल 18 किमी/घंटा है, 24 किमी धारा के प्रतिकूल जाने में, वही दूरी धारा के अनुकूल जाने की अपेक्षा 1 घंटा अधिक लेती है। धारा की चाल क्या है?
A) 6 किमी/घंटा | B) 8 किमी/घंटा | C) 10 किमी/घंटा | D) 12 किमी/घंटा -
k के किन मानों के लिए समीकरण x² - 2x(1 + 3k) + 7(3 + 2k) = 0 के मूल वास्तविक और समान होंगे?
A) 2 और -10/9 | B) 2 और 10/9 | C) -2 और -10/9 | D) -2 और 10/9 -
दो क्रमागत विषम धनात्मक पूर्णांक ज्ञात कीजिए जिनके वर्गों का योग 290 है। पूर्णांक क्या हैं?
A) 11 और 13 | B) 13 और 15 | C) 15 और 17 | D) 9 और 11 -
समीकरण (2x / x-3) + 1 / (2x+3) + (3x+9) / ((x-3)(2x+3)) = 0 (जहाँ x ≠ 3, -3/2) का हल क्या होगा?
A) x = 1 | B) x = -1 | C) x = 2 | D) x = -2 -
एक उड़ान अपने निर्धारित समय से 30 मिनट की देरी से शुरू होती है और 1500 किमी दूर गंतव्य तक समय पर पहुँचने के लिए अपनी गति 250 किमी/घंटा बढ़ा देती है। मूल गति क्या थी?
A) 500 किमी/घंटा | B) 750 किमी/घंटा | C) 1000 किमी/घंटा | D) 1250 किमी/घंटा -
समीकरण a²x² - 3abx + 2b² = 0 को हल करने पर x के मान क्या प्राप्त होंगे?
A) a/b और 2a/b | B) b/a और 2b/a | C) -b/a और -2b/a | D) -a/b और -2a/b
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