3. दो चर वाले रैखिक समीकरण युग्म (Pair of Linear Equations in Two Variables)
इस पेज पर आपको 3. दो चर वाले रैखिक समीकरण युग्म (Pair of Linear Equations in Two Variables) के सभी महत्वपूर्ण बहुविकल्पीय प्रश्न (MCQ), परीक्षा उपयोगी नोट्स और ऑनलाइन क्विज़ मिलेंगे। अपने ज्ञान का परीक्षण करने और बोर्ड/प्रतियोगी परीक्षा में शत-प्रतिशत अंक प्राप्त करने के लिए नीचे दिए गए मॉक टेस्ट में अवश्य भाग लें।
👉 अध्याय का सारांश (Summary)
प्रिय विद्यार्थियों, कक्षा 10 गणित के तीसरे अध्याय 'दो चर वाले रैखिक समीकरण युग्म' (Pair of Linear Equations in Two Variables) में आपका हार्दिक स्वागत है। यह अध्याय बीजगणित का एक अत्यंत महत्वपूर्ण और व्यावहारिक हिस्सा है। अभी तक आपने एक चर वाले समीकरणों का अध्ययन किया है, लेकिन वास्तविक जीवन की कई समस्याएँ ऐसी होती हैं जहाँ हमें दो अज्ञात राशियों का मान एक साथ ज्ञात करना होता है। ऐसे में दो चरों वाले रैखिक समीकरण हमारे बहुत काम आते हैं। सरल शब्दों में कहें तो, जिस समीकरण को ax + by + c = 0 के रूप में रखा जा सकता है, जहाँ a, b और c वास्तविक संख्याएँ हैं और a तथा b दोनों शून्य नहीं हैं, उसे दो चरों x और y में एक रैखिक समीकरण कहा जाता है।
इस अध्याय के व्यावहारिक महत्व को समझने के लिए आइए एक दैनिक जीवन का उदाहरण लेते हैं। मान लीजिए आप एक स्टेशनरी की दुकान पर जाते हैं और 3 पेन तथा 4 पेंसिल खरीदते हैं, जिनका कुल मूल्य 50 रुपये है। कुछ दिनों बाद, आपका दोस्त उसी दुकान से 2 पेन और 3 पेंसिल 35 रुपये में खरीदता है। यदि आपसे पूछा जाए कि एक पेन और एक पेंसिल का अलग-अलग मूल्य क्या है, तो आप इसे कैसे ज्ञात करेंगे? यही वह स्थिति है जहाँ हम इन जानकारियों को दो रैखिक समीकरणों के रूप में बदलते हैं और फिर उन्हें हल करके सटीक मूल्य निकालते हैं।
इस अध्याय में आप समीकरणों के युग्म को हल करने की विभिन्न विधियों के बारे में विस्तार से सीखेंगे। इनमें मुख्य रूप से ग्राफीय विधि (Graphical Method) और बीजगणितीय विधियाँ (Algebraic Methods) शामिल हैं। बीजगणितीय विधियों में हम प्रतिस्थापन विधि (Substitution Method), विलोपन विधि (Elimination Method) और वज्र-गुणन विधि (Cross-Multiplication Method) का अध्ययन करेंगे। ग्राफीय विधि में, जब हम दो समीकरणों का ग्राफ बनाते हैं, तो हमें दो सीधी रेखाएँ प्राप्त होती हैं। यदि ये रेखाएँ एक-दूसरे को काटती हैं, तो उस प्रतिच्छेद बिंदु के निर्देशांक ही समीकरणों का अद्वितीय हल (Unique Solution) होते हैं। यह स्थिति तब बनती है जब a1/a2 और b1/b2 का अनुपात बराबर नहीं होता है।
यदि रेखाएँ एक-दूसरे के समांतर निकल जाती हैं और कभी नहीं मिलतीं, तो इसका अर्थ है कि समीकरणों का कोई हल नहीं है। तीसरी स्थिति में, दोनों रेखाएँ एक-दूसरे के ऊपर ही बनती हैं (संपाती), जिसका अर्थ है कि समीकरणों के अपरिमित रूप से अनेक हल (Infinitely Many Solutions) हैं। यह अवधारणा NCERT और RBSE बोर्ड परीक्षा के दृष्टिकोण से अत्यंत महत्वपूर्ण है, क्योंकि इससे संबंधित विश्लेषणात्मक प्रश्न अक्सर पूछे जाते हैं। जब आप इन विधियों का प्रयोग करके आयु (Age), चाल-दूरी-समय (Speed-Distance-Time), और भिन्न (Fractions) पर आधारित इबारती सवालों (Word Problems) को हल करेंगे, तो आपका तार्किक विकास भी होगा।
विशेषता: यह एक 3-Level आधारित यूनीक क्विज़ है। अगले स्तर (Level 2 और 3) को अनलॉक करने के लिए छात्रों को वर्तमान स्तर में कम से कम 70% अंक स्कोर करने होंगे, जो उनकी बोर्ड परीक्षा की तैयारी को 100% मजबूत बनाता है。
अध्याय के सभी प्रश्न (Revision Notes)
*नोट: यह सेक्शन रिवीजन के लिए है। अपना ज्ञान परखने के लिए ऊपर दिए गए क्विज़ में भाग लें।
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दो चरों वाले रैखिक समीकरण का मानक रूप क्या है?
A) ax² + bx + c = 0 | B) ax + by + c = 0 | C) ax³ + bx = 0 | D) ax + c = 0 -
यदि a1/a2 ≠ b1/b2 है, तो रैखिक समीकरण युग्म का कैसा हल होगा?
A) कोई हल नहीं | B) अद्वितीय हल (Unique Solution) | C) अनंत हल | D) दो हल -
एक रैखिक समीकरण युग्म का ग्राफ खींचने पर कैसी आकृतियाँ प्राप्त होती हैं?
A) वृत्त | B) परवलय | C) सीधी रेखाएँ | D) वक्र -
जब ग्राफ में दो रेखाएँ एक-दूसरे के समांतर होती हैं, तो समीकरण युग्म के कितने हल होते हैं?
A) 1 हल | B) 2 हल | C) कोई हल नहीं | D) अनंत हल -
संगत (Consistent) समीकरण युग्म की रेखाएँ हमेशा कैसी होती हैं?
A) केवल प्रतिच्छेदी | B) केवल संपाती | C) प्रतिच्छेदी या संपाती | D) समांतर -
समीकरण x + y = 14 और x - y = 4 का हल क्या होगा?
A) x = 9, y = 5 | B) x = 5, y = 9 | C) x = 10, y = 4 | D) x = 8, y = 6 -
संपाती (Coincident) रेखाओं की स्थिति में अनुपातों का सही संबंध क्या होता है?
A) a1/a2 = b1/b2 ≠ c1/c2 | B) a1/a2 ≠ b1/b2 | C) a1/a2 = b1/b2 = c1/c2 | D) a1/a2 = c1/c2 ≠ b1/b2 -
असंगत (Inconsistent) समीकरण युग्म का ग्राफीय निरूपण कैसा होता है?
A) प्रतिच्छेदी रेखाएँ | B) समांतर रेखाएँ | C) संपाती रेखाएँ | D) चारों विकल्प सही हैं -
यदि समीकरण 3x + 2y = 12 में y = 3 रखा जाए, तो x का मान क्या होगा?
A) 1 | B) 2 | C) 3 | D) 4 -
दो चरों वाले एक रैखिक समीकरण (केवल एक समीकरण) के अधिकतम कितने हल हो सकते हैं?
A) 0 | B) 1 | C) 2 | D) अनंत हल -
k के किस मान के लिए समीकरण 3x - y - 5 = 0 और 6x - 2y - k = 0 का कोई हल नहीं होगा?
A) k = 10 | B) k = 5 | C) k ≠ 10 | D) k = 0 -
यदि x = a और y = b समीकरणों x - y = 2 और x + y = 4 के हल हैं, तो a और b के मान क्रमशः क्या होंगे?
A) 3 और 1 | B) 4 और 2 | C) 1 और 3 | D) 5 और 3 -
समीकरण युग्म 2x + 3y = 9 और 4x + 6y = 18 के हलों की संख्या कितनी होगी?
A) अद्वितीय हल | B) कोई हल नहीं | C) अनंत हल | D) दो हल -
5 पेन और 6 पेंसिलों का कुल मूल्य 9 रुपये है। इसे बीजगणितीय रूप में कैसे दर्शाएंगे (यदि पेन x और पेंसिल y है)?
A) 5x - 6y = 9 | B) 6x + 5y = 9 | C) 5x + 6y = 9 | D) x + y = 45 -
यदि 2x + 3y = 11 और 2x - 4y = -24 है, तो y का मान क्या होगा?
A) 2 | B) 3 | C) 4 | D) 5 -
पिता की आयु पुत्र की आयु की 3 गुनी है। इसे दो चरों वाले समीकरण में कैसे लिखा जा सकता है?
A) x - 3y = 0 | B) x + 3y = 0 | C) 3x - y = 0 | D) x - y = 3 -
दो संपूरक (Supplementary) कोणों में बड़ा कोण छोटे कोण से 18 डिग्री अधिक है। बड़ा कोण कितने डिग्री का है?
A) 81 | B) 99 | C) 72 | D) 108 -
c के किस मान के लिए समीकरण cx - y = 2 और 6x - 2y = 4 के अनंत हल होंगे?
A) 1 | B) 2 | C) 3 | D) 4 -
एक भिन्न 1/3 हो जाती है जब उसके अंश से 1 घटाया जाता है, और यह 1/4 हो जाती है जब हर में 8 जोड़ा जाता है। वह भिन्न क्या है?
A) 3/12 | B) 5/12 | C) 7/12 | D) 9/12 -
दो अंकों की एक संख्या के अंकों का योग 9 है। यदि संख्या के अंकों को पलट दिया जाए तो प्राप्त संख्या मूल संख्या से 27 अधिक होती है। मूल संख्या क्या है?
A) 27 | B) 36 | C) 45 | D) 63 -
समीकरण 2/x + 3/y = 13 और 5/x - 4/y = -2 को हल करने पर x का मान क्या प्राप्त होगा?
A) 2 | B) 1/2 | C) 3 | D) 1/3 -
एक नाव 10 घंटे में धारा के प्रतिकूल 30 किमी और धारा के अनुकूल 44 किमी जाती है। शांत जल में नाव की चाल (किमी/घंटा) क्या है?
A) 5 | B) 8 | C) 11 | D) 3 -
यदि किसी आयत की लंबाई 5 इकाई कम कर दी जाए और चौड़ाई 3 इकाई बढ़ा दी जाए तो उसका क्षेत्रफल 9 वर्ग इकाई कम हो जाता है। इसका सही समीकरण क्या होगा?
A) 3x - 5y = 6 | B) 5x - 3y = 9 | C) 3x + 5y = 15 | D) x - y = 6 -
रूही 300 किमी की यात्रा रेलगाड़ी और बस से करती है। यदि वह 60 किमी रेल से और शेष बस से यात्रा करे तो 4 घंटे लगते हैं। रेलगाड़ी की चाल ज्ञात कीजिए।
A) 40 किमी/घंटा | B) 50 किमी/घंटा | C) 60 किमी/घंटा | D) 80 किमी/घंटा -
दो पानी के नल एक साथ एक हौज को 75/8 घंटों में भर सकते हैं। बड़ा नल अकेले कितने समय में भरेगा यदि वह छोटे नल से 10 घंटे कम लेता है?
A) 15 घंटे | B) 25 घंटे | C) 10 घंटे | D) 20 घंटे -
यदि समीकरणों 3x + 4y = 12 और (a+b)x + 2(a-b)y = 5a - 1 के अनंत हल हैं, तो a का मान क्या होगा?
A) 1 | B) 3 | C) 5 | D) 7 -
एक चक्रीय चतुर्भुज ABCD के कोण क्रमशः A = 4y + 20, B = 3y - 5, C = -4x और D = -7x + 5 हैं। कोण A का मान क्या होगा?
A) 120 डिग्री | B) 100 डिग्री | C) 80 डिग्री | D) 60 डिग्री -
यश ने एक टेस्ट में 40 अंक प्राप्त किए, जब उसे सही उत्तर पर 3 अंक मिले और गलत पर 1 अंक कटा। यदि सही पर 4 मिलते और गलत पर 2 कटते, तो उसे 50 अंक मिलते। कुल प्रश्न कितने थे?
A) 15 | B) 20 | C) 25 | D) 30 -
समीकरण 152x - 378y = -74 और -378x + 152y = -604 को हल करने पर x और y के मान क्रमशः क्या होंगे?
A) 1 और 2 | B) 2 और 1 | C) 2 और 2 | D) 1 और 1 -
k के किस मान के लिए रैखिक समीकरण युग्म kx + 3y = k - 3 और 12x + ky = k का कोई हल नहीं होगा?
A) 6 | B) -6 | C) 0 | D) 12
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