2. बहुपद (Polynomials)
इस पेज पर आपको 2. बहुपद (Polynomials) के सभी महत्वपूर्ण बहुविकल्पीय प्रश्न (MCQ), परीक्षा उपयोगी नोट्स और ऑनलाइन क्विज़ मिलेंगे। अपने ज्ञान का परीक्षण करने और बोर्ड/प्रतियोगी परीक्षा में शत-प्रतिशत अंक प्राप्त करने के लिए नीचे दिए गए मॉक टेस्ट में अवश्य भाग लें।
👉 अध्याय का सारांश (Summary)
प्रिय विद्यार्थियों, कक्षा 10 गणित के दूसरे अध्याय 'बहुपद' (Polynomials) में आपका स्वागत है। बीजगणित (Algebra) की नींव रखने वाला यह अध्याय बहुत ही रोचक और स्कोरिंग है। बहुपद, जैसा कि नाम से ही स्पष्ट है, 'बहु' (कई) और 'पद' (parts/terms) से मिलकर बना है। इसमें चर (variables) और अचर (constants) राशियाँ होती हैं जो जोड़, घटाव और गुणा जैसी गणितीय संक्रियाओं द्वारा एक दूसरे से जुड़ी होती हैं।
इस अध्याय में हम मुख्य रूप से बहुपदों की घात (Degree of Polynomial) के बारे में पढ़ते हैं। यदि किसी बहुपद की अधिकतम घात 1 है, तो उसे 'रैखिक बहुपद' (Linear Polynomial) कहा जाता है। 2 घात वाले को 'द्विघात बहुपद' (Quadratic Polynomial) और 3 घात वाले को 'त्रिघात बहुपद' (Cubic Polynomial) कहते हैं। बोर्ड परीक्षाओं में सबसे ज्यादा प्रश्न द्विघात बहुपदों से पूछे जाते हैं।
बहुपद का एक बहुत ही महत्वपूर्ण हिस्सा इसके 'शून्यक' (Zeroes) होते हैं। शून्यक x का वह मान होता है जिसे बहुपद में रखने पर पूरे बहुपद का मान शून्य (0) हो जाता है। ज्यामितीय रूप से, किसी बहुपद का ग्राफ x-अक्ष को जिन बिंदुओं पर काटता है, उनके x-निर्देशांक ही उस बहुपद के शून्यक होते हैं। एक द्विघात बहुपद में अधिकतम 2 शून्यक हो सकते हैं, जिन्हें हम आमतौर पर अल्फा (α) और बीटा (β) से दर्शाते हैं।
इस अध्याय का सबसे महत्वपूर्ण सूत्र शून्यकों और गुणांकों के बीच का संबंध है। किसी द्विघात बहुपद ax² + bx + c के लिए, शून्यकों का योगफल (α + β) = -b/a होता है, और शून्यकों का गुणनफल (αβ) = c/a होता है। इन्ही संबंधों का उपयोग करके हम अज्ञात गुणांकों का मान निकाल सकते हैं या शून्यक दिए होने पर नया बहुपद बना सकते हैं।
विशेषता: पिछले अध्याय की तरह ही यह भी एक 3-Level आधारित यूनीक क्विज़ है। Level 1 में बुनियादी प्रश्न हैं, Level 2 में शून्यकों और गुणांकों के संबंध पर आधारित प्रश्न हैं, और Level 3 में उच्च स्तरीय सोच वाले (HOTS) प्रश्न शामिल हैं। अगले स्तर को अनलॉक करने के लिए आपको वर्तमान स्तर में कम से कम 70% अंक प्राप्त करने होंगे। बोर्ड परीक्षा 2027 में अच्छे अंक प्राप्त करने के लिए इन प्रश्नों का अभ्यास अवश्य करें!
अध्याय के सभी प्रश्न (Revision Notes)
*नोट: यह सेक्शन रिवीजन के लिए है। अपना ज्ञान परखने के लिए ऊपर दिए गए क्विज़ में भाग लें।
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एक घात (Degree 1) वाले बहुपद को क्या कहा जाता है?
A) द्विघात बहुपद | B) त्रिघात बहुपद | C) रैखिक बहुपद | D) शून्य बहुपद -
द्विघात बहुपद (Quadratic Polynomial) में अधिकतम कितने शून्यक (Zeroes) हो सकते हैं?
A) 1 | B) 2 | C) 3 | D) अनंत -
बहुपद P(x) = 2x + 5 का शून्यक क्या होगा?
A) 5/2 | B) -5/2 | C) 2/5 | D) -2/5 -
निम्नलिखित में से कौन सा एक व्यंजक बहुपद (Polynomial) नहीं है?
A) x² + 2x + 1 | B) x + 1/x | C) 3x³ - 4x + 5 | D) 5 -
बहुपद x² - 4 के शून्यक क्या हैं?
A) केवल 2 | B) केवल -2 | C) 2 और -2 | D) 4 और -4 -
तीन घात (Degree 3) वाले बहुपद को क्या कहा जाता है?
A) रैखिक बहुपद | B) द्विघात बहुपद | C) त्रिघात बहुपद | D) चतुर्घात बहुपद -
यदि P(x) = ax + b एक रैखिक बहुपद है, तो इसका शून्यक क्या होगा?
A) a/b | B) b/a | C) -a/b | D) -b/a -
किसी बहुपद के ग्राफ द्वारा x-अक्ष को जितने बिंदुओं पर काटा जाता है, वह क्या दर्शाता है?
A) बहुपद की घात | B) शून्यकों की संख्या | C) y-अक्ष का प्रतिच्छेदन | D) गुणांकों का योग -
बहुपद y³ - 2y² - √3y + 1/2 की घात (Degree) क्या है?
A) 1 | B) 2 | C) 3 | D) 1/2 -
क्या व्यंजक √x + 2 एक बहुपद है?
A) हाँ | B) नहीं | C) कह नहीं सकते | D) केवल वास्तविक संख्याओं के लिए -
द्विघात बहुपद ax² + bx + c के शून्यकों का योगफल (α + β) क्या होता है?
A) c/a | B) -c/a | C) b/a | D) -b/a -
द्विघात बहुपद ax² + bx + c के शून्यकों का गुणनफल (αβ) क्या होता है?
A) -b/a | B) c/a | C) -c/a | D) a/c -
वह द्विघात बहुपद ज्ञात कीजिए जिसके शून्यकों का योग 4 और गुणनफल 1 है।
A) x² - 4x + 1 | B) x² + 4x + 1 | C) x² - x + 4 | D) x² + x - 4 -
बहुपद x² - 2x - 8 के शून्यक हैं:
A) 4, 2 | B) -4, 2 | C) 4, -2 | D) -4, -2 -
यदि α और β बहुपद x² - 5x + 6 के शून्यक हैं, तो α + β का मान क्या होगा?
A) -5 | B) 5 | C) 6 | D) -6 -
यदि α और β बहुपद 2x² - 3x + 1 के शून्यक हैं, तो αβ (गुणनफल) का मान क्या है?
A) 3/2 | B) -3/2 | C) 1/2 | D) -1/2 -
यदि एक द्विघात बहुपद के शून्यक 3 और -3 हैं, तो वह बहुपद क्या होगा?
A) x² + 9 | B) x² - 9 | C) x² + 3x - 9 | D) x² - 3x + 9 -
यदि बहुपद P(x) = x² - kx + 8 के शून्यकों का योग 4 है, तो k का मान क्या है?
A) -4 | B) 4 | C) 8 | D) -8 -
यदि किसी परिमेय गुणांकों वाले द्विघात बहुपद का एक शून्यक 2 + √3 है, तो उसका दूसरा शून्यक क्या होगा?
A) 2 - √3 | B) -2 + √3 | C) -2 - √3 | D) √3 - 2 -
वह द्विघात बहुपद क्या होगा जिसके शून्यकों का योग 0 और गुणनफल √5 है?
A) x² - √5 | B) x² + √5 | C) x² + 5 | D) x² - 5 -
यदि α और β बहुपद x² - px + q के शून्यक हैं, तो α² + β² का मान क्या होगा?
A) p² + 2q | B) p² - 2q | C) p² - q | D) p² + q -
यदि बहुपद x² + ax - b के शून्यक परिमाण में समान लेकिन चिह्न में विपरीत (एक दूसरे के ऋणात्मक) हैं, तो a का मान क्या होगा?
A) 0 | B) 1 | C) -1 | D) b -
यदि α और β द्विघात बहुपद f(x) = x² - 1 के शून्यक हैं, तो 1/α + 1/β का मान क्या होगा?
A) 1 | B) -1 | C) 0 | D) परिभाषित नहीं -
यदि बहुपद ax² - 6x - 6 के शून्यकों का गुणनफल 4 है, तो a का मान क्या होगा?
A) -3/2 | B) 3/2 | C) -2/3 | D) 2/3 -
यदि त्रिघात बहुपद ax³ + bx² + cx + d के दो शून्यक 0 हैं, तो तीसरा शून्यक क्या होगा?
A) -b/a | B) b/a | C) c/a | D) -d/a -
यदि बहुपद x² + (a+1)x + b के शून्यक 2 और -3 हैं, तो a और b का मान क्या होगा?
A) a = 0, b = -6 | B) a = 2, b = -6 | C) a = -2, b = 6 | D) a = 0, b = 6 -
यदि α और β बहुपद 2x² + 5x + k के शून्यक हैं और α² + β² + αβ = 21/4 है, तो k का मान ज्ञात कीजिए।
A) 1 | B) 2 | C) 3 | D) 4 -
यदि किसी द्विघात बहुपद के शून्यकों का योग और गुणनफल क्रमशः -1/4 और 1/4 है, तो वह बहुपद क्या है?
A) 4x² - x + 1 | B) 4x² + x - 1 | C) 4x² + x + 1 | D) x² + 4x + 1 -
यदि बहुपद p(x) = x³ - 3x² + x + 1 के शून्यक (a-b), a, और (a+b) हैं, तो a का मान क्या होगा?
A) -1 | B) 0 | C) 1 | D) 2 -
एक द्विघात बहुपद जिसके शून्यक -4 और -5 हैं, के गुणांकों का योग क्या होगा (यदि x² का गुणांक 1 है)?
A) 20 | B) 30 | C) 9 | D) -9
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