1. वास्तविक संख्याएँ (Real Numbers)
इस पेज पर आपको 1. वास्तविक संख्याएँ (Real Numbers) के सभी महत्वपूर्ण बहुविकल्पीय प्रश्न (MCQ), परीक्षा उपयोगी नोट्स और ऑनलाइन क्विज़ मिलेंगे। अपने ज्ञान का परीक्षण करने और बोर्ड/प्रतियोगी परीक्षा में शत-प्रतिशत अंक प्राप्त करने के लिए नीचे दिए गए मॉक टेस्ट में अवश्य भाग लें।
👉 अध्याय का सारांश (Summary)
प्रिय विद्यार्थियों, कक्षा 10 गणित के इस पहले अध्याय 'वास्तविक संख्याएँ' (Real Numbers) में आपका स्वागत है। यह अध्याय आपकी गणितीय यात्रा का एक बहुत ही महत्वपूर्ण पड़ाव है, क्योंकि यह संख्याओं की उस दुनिया से आपका परिचय कराता है जिसका उपयोग हम अपने दैनिक जीवन में हर जगह करते हैं। जब भी आप किसी वस्तु को मापते हैं, दूरी गिनते हैं, या समय का हिसाब लगाते हैं, तो आप अनजाने में वास्तविक संख्याओं का ही प्रयोग कर रहे होते हैं। इस अध्याय में हम मुख्य रूप से यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका, अंकगणित की आधारभूत प्रमेय, और परिमेय तथा अपरिमेय संख्याओं के गुणों के बारे में विस्तार से चर्चा करेंगे।
यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका हमें यह बताती है कि किसी धनात्मक पूर्णांक को किसी अन्य धनात्मक पूर्णांक से विभाजित करने पर एक भागफल और एक शेषफल प्राप्त होता है, जहाँ शेषफल हमेशा भाजक से छोटा होता है। इसका सबसे बेहतरीन व्यावहारिक उदाहरण हमारे दैनिक जीवन में तब देखने को मिलता है जब हम चीजों को बराबर हिस्सों में बाँटने की कोशिश करते हैं। मान लीजिए, आपके पास 15 चॉकलेट हैं और आप उन्हें अपने 4 दोस्तों में बराबर बाँटना चाहते हैं। आप हर एक को 3 चॉकलेट देंगे और आपके पास 3 चॉकलेट बच जाएंगी। यही यूक्लिड की प्रमेयिका का मूल विचार है। इसका उपयोग हम दो या दो से अधिक संख्याओं का महत्तम समापवर्तक (HCF) निकालने के लिए भी करते हैं। उदाहरण के लिए, यदि एक कमरे में टाइल्स लगानी हैं और हमें सबसे बड़ी वर्गाकार टाइल का आकार ज्ञात करना है जो बिना काटे पूरी तरह से फिट हो जाए, तो वहाँ हम HCF का ही उपयोग करते हैं।
इसके बाद हम अंकगणित की आधारभूत प्रमेय का अध्ययन करते हैं, जो यह स्पष्ट करती है कि प्रत्येक भाज्य संख्या को अभाज्य संख्याओं के एक अद्वितीय गुणनफल के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। यह प्रमेय लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) और HCF ज्ञात करने का एक सरल और सटीक तरीका प्रदान करती है। मान लीजिए, तीन अलग-अलग अलार्म घड़ियाँ क्रमशः 10, 15 और 20 मिनट के अंतराल पर बजती हैं। यदि वे एक साथ बजी हैं, तो वे दोबारा एक साथ कब बजेंगी? इस प्रकार की व्यावहारिक समस्याओं को हल करने के लिए हम LCM का प्रयोग करते हैं।
इसके अलावा, हम परिमेय संख्याओं के दशमलव प्रसार के बारे में भी जानेंगे। हम यह सीखेंगे कि कैसे बिना लंबी विभाजन प्रक्रिया के, केवल हर के अभाज्य गुणनखंडों को देखकर यह बताया जा सकता है कि किसी परिमेय संख्या का दशमलव प्रसार सांत होगा या असांत आवर्ती। यदि हर के अभाज्य गुणनखंड में केवल 2, केवल 5, या 2 और 5 दोनों आते हैं, तो वह सांत दशमलव होता है। NCERT और RBSE बोर्ड परीक्षा के दृष्टिकोण से यह अध्याय अत्यंत महत्वपूर्ण है, क्योंकि इसमें से हर साल सीधे और व्यावहारिक प्रश्न पूछे जाते हैं। निरंतर अभ्यास से न केवल आपकी गणना की गति बढ़ेगी बल्कि आपका आत्मविश्वास भी मजबूत होगा। आइए, इस अध्याय के प्रश्नों का अभ्यास करें।
विशेषता: यह एक 3-Level आधारित यूनीक क्विज़ है। अगले स्तर (Level 2 और 3) को अनलॉक करने के लिए छात्रों को वर्तमान स्तर में कम से कम 70% अंक स्कोर करने होंगे, जो उनकी बोर्ड परीक्षा की तैयारी को 100% मजबूत बनाता है。
अध्याय के सभी प्रश्न (Revision Notes)
*नोट: यह सेक्शन रिवीजन के लिए है। अपना ज्ञान परखने के लिए ऊपर दिए गए क्विज़ में भाग लें।
-
परिमेय और अपरिमेय संख्याओं के समूह को क्या कहा जाता है?
A) पूर्ण संख्याएँ | B) वास्तविक संख्याएँ | C) प्राकृतिक संख्याएँ | D) पूर्णांक -
सबसे छोटी अभाज्य संख्या कौन सी है?
A) 0 | B) 1 | C) 2 | D) 3 -
दो क्रमिक सम संख्याओं का HCF (महत्तम समापवर्तक) क्या होता है?
A) 1 | B) 2 | C) 3 | D) 4 -
π (पाई) किस प्रकार की संख्या है?
A) परिमेय संख्या | B) अपरिमेय संख्या | C) प्राकृतिक संख्या | D) भाज्य संख्या -
किसी भी धनात्मक पूर्णांक a और b के लिए HCF(a,b) × LCM(a,b) किसके बराबर होता है?
A) a + b | B) a - b | C) a × b | D) a ÷ b -
सह-अभाज्य संख्याओं (Co-prime numbers) का HCF क्या होता है?
A) 0 | B) 1 | C) 2 | D) संख्याओं का गुणनफल -
144 के अभाज्य गुणनखंड में 2 की घात कितनी होती है?
A) 2 | B) 3 | C) 4 | D) 5 -
√3 (वर्गमूल 3) एक किस प्रकार की संख्या है?
A) परिमेय संख्या | B) अभाज्य संख्या | C) अपरिमेय संख्या | D) सम संख्या -
सबसे छोटी भाज्य (Composite) संख्या कौन सी है?
A) 1 | B) 2 | C) 3 | D) 4 -
15 और 25 का HCF क्या होगा?
A) 3 | B) 5 | C) 15 | D) 25 -
यदि p और q दो अभाज्य संख्याएँ हैं, तो उनका LCM (लघुत्तम समापवर्त्य) क्या होगा?
A) p + q | B) p - q | C) 1 | D) pq -
156 के अभाज्य गुणनखंड क्या हैं?
A) 2 × 3 × 13 | B) 2² × 3 × 13 | C) 2² × 3² × 13 | D) 2 × 3² × 13 -
किसी धनात्मक पूर्णांक q के लिए, प्रत्येक धनात्मक सम पूर्णांक का रूप क्या होता है?
A) q - 1 | B) q + 1 | C) 2q | D) 2q + 1 -
6, 72 और 120 का HCF क्या होगा?
A) 6 | B) 12 | C) 24 | D) 72 -
यदि 65 और 117 के HCF को 65m - 117 के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, तो m का मान क्या है?
A) 1 | B) 2 | C) 3 | D) 4 -
किसी परिमेय संख्या का दशमलव प्रसार सांत होने के लिए उसके हर के अभाज्य गुणनखंड किस रूप के होने चाहिए?
A) केवल 3 की घात | B) 2ⁿ × 5ᵐ के रूप में | C) केवल 7 की घात | D) 3ⁿ × 7ᵐ के रूप में -
यदि HCF(306, 657) = 9 है, तो LCM(306, 657) क्या होगा?
A) 22338 | B) 22383 | C) 23328 | D) 22833 -
एक शून्येतर परिमेय संख्या और एक अपरिमेय संख्या का गुणनफल हमेशा क्या होता है?
A) हमेशा परिमेय संख्या | B) हमेशा अपरिमेय संख्या | C) पूर्णांक | D) सम संख्या -
सबसे छोटी भाज्य संख्या और सबसे छोटी अभाज्य संख्या का HCF क्या है?
A) 1 | B) 2 | C) 3 | D) 4 -
17/8 का दशमलव प्रसार कैसा होगा?
A) सांत | B) असांत आवर्ती | C) असांत अनावर्ती | D) चारों विकल्प सही हैं -
वह सबसे बड़ी संख्या जिससे 70 और 125 को विभाजित करने पर क्रमशः 5 और 8 शेषफल बचता है?
A) 13 | B) 65 | C) 875 | D) 1750 -
दो संख्याओं का LCM उनके HCF का 14 गुना है। LCM और HCF का योग 600 है। यदि एक संख्या 280 है, तो दूसरी संख्या क्या होगी?
A) 40 | B) 60 | C) 80 | D) 100 -
1 से 10 तक की सभी प्राकृतिक संख्याओं (दोनों को शामिल करते हुए) से विभाज्य होने वाली सबसे छोटी संख्या कौन सी है?
A) 10 | B) 100 | C) 504 | D) 2520 -
यदि n एक प्राकृतिक संख्या है, तो 6ⁿ - 5ⁿ हमेशा किस अंक पर समाप्त होगा?
A) 1 | B) 2 | C) 3 | D) 4 -
वृत्ताकार पथ पर तीन धावक एक ही स्थान से दौड़ना शुरू करते हैं। एक चक्कर लगाने में उन्हें क्रमशः 2 घंटे, 4 घंटे और 6 घंटे लगते हैं। तीनों को प्रस्थान बिंदु पर पुनः मिलने में कितना समय लगेगा?
A) 8 घंटे | B) 10 घंटे | C) 12 घंटे | D) 24 घंटे -
यदि a = 2³ × 3, b = 2 × 3 × 5 और c = 3ⁿ × 5 है, और उनका LCM = 2³ × 3² × 5 है, तो n का मान क्या है?
A) 1 | B) 2 | C) 3 | D) 4 -
एक कमरे की लंबाई, चौड़ाई और ऊंचाई क्रमशः 850 सेमी, 625 सेमी और 475 सेमी है। सबसे लंबे टेप की लंबाई क्या होगी जो तीनों आयामों को सटीक रूप से माप सके?
A) 15 सेमी | B) 25 सेमी | C) 35 सेमी | D) 45 सेमी -
किसी धनात्मक पूर्णांक n के लिए, n² - 1 हमेशा 8 से विभाज्य होता है यदि n एक...
A) सम पूर्णांक हो | B) विषम पूर्णांक हो | C) प्राकृतिक संख्या हो | D) अभाज्य संख्या हो -
परिमेय संख्या 43 / (2⁴ × 5³) का दशमलव प्रसार दशमलव के कितने स्थानों के बाद समाप्त होगा?
A) 1 | B) 2 | C) 3 | D) 4 -
तीन अभाज्य संख्याओं का योग 100 है। यदि उनमें से एक संख्या दूसरी से 36 अधिक है, तो उन संख्याओं में से एक संख्या क्या होगी?
A) 41 | B) 53 | C) 67 | D) 73
0
0
0%
अपना सुझाव दें (Feedback)
वेबसाइट को और बेहतर बनाने के लिए अपने विचार हमें भेजें।