13. सांख्यिकी (Statistics)
इस पेज पर आपको 13. सांख्यिकी (Statistics) के सभी महत्वपूर्ण बहुविकल्पीय प्रश्न (MCQ), परीक्षा उपयोगी नोट्स और ऑनलाइन क्विज़ मिलेंगे। अपने ज्ञान का परीक्षण करने और बोर्ड/प्रतियोगी परीक्षा में शत-प्रतिशत अंक प्राप्त करने के लिए नीचे दिए गए मॉक टेस्ट में अवश्य भाग लें।
👉 अध्याय का सारांश (Summary)
प्रिय विद्यार्थियों, कक्षा 10 गणित के 13वें अध्याय 'सांख्यिकी' (Statistics) में आपका हार्दिक स्वागत है। यह अध्याय गणित की 1 अत्यंत महत्वपूर्ण और विश्लेषणात्मक शाखा है, जो आँकड़ों (Data) को एकत्रित करने, उन्हें व्यवस्थित करने, उनका विश्लेषण करने और उनसे अर्थपूर्ण निष्कर्ष निकालने से संबंधित है। हमारे आधुनिक युग को अक्सर 'सूचना का युग' (Information Age) कहा जाता है, जहाँ हर तरफ आँकड़ों का ही बोलबाला है। चाहे वह शेयर बाजार के उतार-चढ़ाव हों, क्रिकेट मैच में खिलाड़ियों का प्रदर्शन हो, या मौसम विभाग द्वारा दी जाने वाली बारिश की भविष्यवाणी हो, इन सभी के पीछे सांख्यिकी के ही मजबूत नियम काम करते हैं।
इस अध्याय में हम मुख्य रूप से केंद्रीय प्रवृत्ति की 3 मापों (Measures of Central Tendency) के बारे में गहराई से अध्ययन करेंगे: माध्य (Mean), माध्यिका (Median) और बहुलक (Mode)। 'माध्य' या औसत, दिए गए सभी प्रेक्षणों (Observations) का कुल योग और उनकी संख्या का अनुपात होता है। मान लीजिए, आपकी कक्षा में 5 छात्रों ने गणित की परीक्षा में क्रमशः 50, 60, 70, 80 और 90 अंक प्राप्त किए हैं। यदि हम कक्षा का सामान्य प्रदर्शन जानना चाहते हैं, तो हम इन सभी अंकों को जोड़कर 5 से भाग देंगे, जिससे हमें 70 का औसत या माध्य प्राप्त होगा। वर्गीकृत आँकड़ों (Grouped Data) का माध्य निकालने के लिए हम 3 विधियों का उपयोग करते हैं: प्रत्यक्ष विधि (Direct Method), कल्पित माध्य विधि (Assumed Mean Method) और पग-विचलन विधि (Step-Deviation Method)। प्रत्यक्ष विधि का उपयोग तब किया जाता है जब आँकड़ों के मान छोटे होते हैं, जबकि बड़ी संख्याओं की गणना को सरल बनाने के लिए पग-विचलन विधि सबसे उपयुक्त मानी जाती है।
'बहुलक' (Mode) दिए गए आँकड़ों में वह मान होता है जो सबसे अधिक बार आता है। इसका सबसे बेहतरीन व्यावहारिक उदाहरण 1 जूते की दुकान में देखा जा सकता है। यदि कोई दुकानदार यह जानना चाहता है कि उसे किस आकार के जूते सबसे अधिक स्टॉक में रखने चाहिए, तो वह जूतों के आकार का बहुलक ज्ञात करेगा। जिस आकार के जूते सबसे ज्यादा बिकते हैं, वही बहुलक होता है। बहुलक ज्ञात करने के लिए हमें सबसे बड़ी बारंबारता वाले वर्ग, जिसे 'बहुलक वर्ग' (Modal Class) कहा जाता है, की पहचान करनी होती है और फिर उसमें बहुलक का विशेष सूत्र लागू करना होता है। 'माध्यिका' (Median) आँकड़ों को आरोही (Ascending) या अवरोही (Descending) क्रम में व्यवस्थित करने पर बिल्कुल बीच का मान होता है। यदि हम किसी देश के नागरिकों की आय का विश्लेषण कर रहे हैं, तो कुछ बहुत अमीर लोगों के कारण माध्य आय सही तस्वीर नहीं दिखा सकती। ऐसी स्थिति में माध्यिका आय 1 बहुत बेहतर और अधिक सटीक विकल्प साबित होती है, क्योंकि यह समाज के मध्य वर्ग का सही प्रतिनिधित्व करती है।
इसके अतिरिक्त, हम इस अध्याय में संचयी बारंबारता वक्र (Cumulative Frequency Curve) या 'तोरण' (Ogive) के बारे में भी जानेंगे। तोरण 2 प्रकार के होते हैं: 'से कम प्रकार' का तोरण और 'से अधिक प्रकार' का तोरण। जब हम इन दोनों तोरणों को 1 ही ग्राफ पेपर पर बनाते हैं, तो वे जिस बिंदु पर 1-दूसरे को प्रतिच्छेद (Intersect) करते हैं, उस बिंदु का x-निर्देशांक ही हमारे आँकड़ों की माध्यिका होती है। माध्य, माध्यिका और बहुलक के बीच 1 बहुत ही प्रसिद्ध आनुभविक संबंध (Empirical Relationship) होता है: 3 × माध्यिका = बहुलक + 2 × माध्य। NCERT और RBSE बोर्ड परीक्षा 2027 के दृष्टिकोण से सांख्यिकी सबसे अधिक अंक दिलाने वाले (High-Scoring) और आसान अध्यायों में से 1 है। बोर्ड परीक्षाओं में आमतौर पर सारणी (Table) वाले बड़े इबारती प्रश्न अनिवार्य रूप से पूछे जाते हैं, जिन्हें हल करने के लिए सूत्रों को सही जगह लागू करना और गणनाओं (Calculations) में 100 प्रतिशत सटीकता रखना बेहद जरूरी है। निरंतर अभ्यास से आप इस अध्याय में निश्चित रूप से पूरे अंक प्राप्त कर सकते हैं।
विशेषता: यह एक 3-Level आधारित यूनीक क्विज़ है। अगले स्तर (Level 2 और 3) को अनलॉक करने के लिए छात्रों को वर्तमान स्तर में कम से कम 70% अंक स्कोर करने होंगे, जो उनकी बोर्ड परीक्षा की तैयारी को 100% मजबूत बनाता है。
अध्याय के सभी प्रश्न (Revision Notes)
*नोट: यह सेक्शन रिवीजन के लिए है। अपना ज्ञान परखने के लिए ऊपर दिए गए क्विज़ में भाग लें।
-
आंकड़ों के औसत मान (Average value) को गणित की भाषा में क्या कहा जाता है?
A) बहुलक | B) माध्य | C) माध्यिका | D) परास -
बारंबारता बंटन में सर्वाधिक बारंबारता (Frequency) वाले वर्ग को क्या कहते हैं?
A) माध्यिका वर्ग | B) माध्य वर्ग | C) बहुलक वर्ग | D) संचयी वर्ग -
केंद्रीय प्रवृत्ति की मापों में आनुभविक संबंध 3 × माध्यिका = बहुलक + 2 × (?) में प्रश्नवाचक चिह्न के स्थान पर क्या आएगा?
A) माध्य | B) परास | C) संचयी बारंबारता | D) विचलन -
प्रथम 5 प्राकृत संख्याओं (1, 2, 3, 4, 5) का माध्य क्या होगा?
A) 2 | B) 3 | C) 4 | D) 5 -
वर्ग अंतराल 10-20 का वर्ग चिह्न (Class Mark) क्या है?
A) 5 | B) 10 | C) 15 | D) 20 -
संचयी बारंबारता वक्र (Cumulative Frequency Curve) को अन्य किस प्रसिद्ध नाम से जाना जाता है?
A) परवलय | B) तोरण (Ogive) | C) आयत चित्र | D) दंड आलेख -
वर्गीकृत आंकड़ों का माध्य निकालने की प्रत्यक्ष विधि (Direct Method) का सूत्र क्या है?
A) Σfi / Σfixi | B) Σxi / Σfi | C) Σfixi / Σfi | D) Σfixi - Σfi -
आंकड़ों 2, 4, 6, 2, 8, 2, 5 में बहुलक (Mode) क्या है?
A) 4 | B) 6 | C) 8 | D) 2 -
माध्य, माध्यिका और बहुलक में से केंद्रीय प्रवृत्ति की सबसे अधिक उपयोग की जाने वाली और विश्वसनीय माप कौन सी है?
A) माध्यिका | B) बहुलक | C) माध्य | D) चारों विकल्प सही हैं -
बहुलक ज्ञात करने के लिए वर्ग अंतरालों (Class Intervals) का कैसा होना अनिवार्य है?
A) असतत (Discontinuous) | B) सतत (Continuous) | C) असमावेशी | D) भिन्न आकार के -
यदि किसी बंटन का माध्य 14 और बहुलक 11 है, तो आनुभविक सूत्र से उसकी माध्यिका क्या होगी?
A) 12 | B) 13 | C) 14 | D) 15 -
प्रथम 10 अभाज्य (Prime) संख्याओं की माध्यिका क्या होगी?
A) 11 | B) 12 | C) 13 | D) 14 -
1 गेंदबाज द्वारा 10 क्रिकेट मैचों में लिए गए विकेट 2, 6, 4, 5, 0, 2, 1, 3, 2, 3 हैं। आंकड़ों का बहुलक ज्ञात कीजिए।
A) 0 | B) 2 | C) 3 | D) 4 -
यदि 5 प्रेक्षणों x, x+2, x+4, x+6, x+8 का माध्य 11 है, तो x का मान क्या होगा?
A) 5 | B) 6 | C) 7 | D) 8 -
वर्ग अंतराल 40-50 की उच्च सीमा (Upper Limit) और 20-30 की निम्न सीमा (Lower Limit) का योग क्या होगा?
A) 60 | B) 70 | C) 80 | D) 90 -
'से कम प्रकार' के तोरण और 'से अधिक प्रकार' के तोरण का प्रतिच्छेद बिंदु (Intersection Point) x-अक्ष पर क्या दर्शाता है?
A) माध्य | B) बहुलक | C) माध्यिका | D) परास -
पग-विचलन विधि (Step-Deviation Method) में 'ui' का मान किसके बराबर होता है?
A) (xi + a)/h | B) (xi - h)/a | C) (xi - a)/h | D) xi - a -
वर्ग अंतराल 1-10, 11-20, 21-30 किस प्रकार के वर्ग अंतराल कहलाते हैं?
A) सतत (Continuous) | B) समावेशी (Inclusive) | C) अपवर्जी (Exclusive) | D) तोरण -
यदि 5 प्रेक्षणों का माध्य 10 है और प्रत्येक प्रेक्षण में 2 जोड़ दिया जाए, तो नया माध्य क्या होगा?
A) 10 | B) 12 | C) 20 | D) 22 -
माध्यिका (Median) ज्ञात करने के लिए आंकड़ों को किस क्रम में व्यवस्थित करना अनिवार्य है?
A) केवल आरोही क्रम में | B) केवल अवरोही क्रम में | C) आरोही या अवरोही क्रम में | D) क्रम आवश्यक नहीं है -
1 बारंबारता बंटन में बहुलक वर्ग 20-30 है। यदि f1=20, f0=12, f2=11 और h=10 है, तो बहुलक (Mode) क्या होगा?
A) 22.5 | B) 23.7 | C) 24.7 | D) 25.2 -
यदि किसी बंटन के लिए कुल बारंबारता Σfi = 50 और Σfixi = 1000 है, तो माध्य (Mean) क्या होगा?
A) 10 | B) 15 | C) 20 | D) 25 -
1 बंटन की माध्यिका 28.5 है और कुल बारंबारता 60 है। यदि माध्यिका वर्ग 20-30 है, तो सूत्र में 'cf' (संचयी बारंबारता) का मान किस वर्ग से लिया जाता है?
A) माध्यिका वर्ग का | B) माध्यिका वर्ग से ठीक पहले वाले वर्ग का | C) माध्यिका वर्ग से ठीक बाद वाले वर्ग का | D) प्रथम वर्ग का -
यदि कल्पित माध्य a = 50, Σfiui = -36, Σfi = 35 और वर्ग माप h = 10 है, तो पग-विचलन विधि से माध्य लगभग क्या होगा?
A) 39.71 | B) 40.25 | C) 45.50 | D) 60.28 -
यदि अवर्गीकृत आंकड़ों में पदों की संख्या 'n' विषम (Odd) है, तो माध्यिका कौन सा पद होती है?
A) n/2 वां पद | B) (n/2 + 1) वां पद | C) (n+1)/2 वां पद | D) (n-1)/2 वां पद -
1 सतत बारंबारता बंटन में, वर्ग अंतराल की चौड़ाई 'h' किसे दर्शाती है?
A) उच्च सीमा और निम्न सीमा का योग | B) उच्च सीमा और निम्न सीमा का अंतर | C) बारंबारताओं का अंतर | D) संचयी बारंबारता -
माध्यिका का सूत्र L + [(n/2 - cf)/f] × h में 'f' क्या दर्शाता है?
A) कुल बारंबारता | B) माध्यिका वर्ग की बारंबारता | C) बहुलक वर्ग की बारंबारता | D) संचयी बारंबारता -
यदि किसी बंटन का माध्य और बहुलक बिल्कुल समान हैं, तो उसकी माध्यिका के बारे में क्या कहा जा सकता है?
A) वह शून्य होगी | B) वह माध्य और बहुलक के बराबर होगी | C) वह माध्य से अधिक होगी | D) तय नहीं किया जा सकता -
1 कक्षा के 30 छात्रों के भार का माध्य 50 किग्रा है। शिक्षक का भार शामिल करने पर नया माध्य 51 किग्रा हो जाता है। शिक्षक का भार क्या है?
A) 51 किग्रा | B) 61 किग्रा | C) 71 किग्रा | D) 81 किग्रा -
क्या किसी 1 ही बारंबारता बंटन का बहुलक 1 से अधिक हो सकता है?
A) नहीं, कभी नहीं | B) हाँ, वह बहु-बहुलक (Multimodal) हो सकता है | C) केवल सतत श्रृंखला में | D) केवल अवर्गीकृत आंकड़ों में
0
0
0%
अपना सुझाव दें (Feedback)
वेबसाइट को और बेहतर बनाने के लिए अपने विचार हमें भेजें।