12. पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन (Surface Areas and Volumes)
इस पेज पर आपको 12. पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन (Surface Areas and Volumes) के सभी महत्वपूर्ण बहुविकल्पीय प्रश्न (MCQ), परीक्षा उपयोगी नोट्स और ऑनलाइन क्विज़ मिलेंगे। अपने ज्ञान का परीक्षण करने और बोर्ड/प्रतियोगी परीक्षा में शत-प्रतिशत अंक प्राप्त करने के लिए नीचे दिए गए मॉक टेस्ट में अवश्य भाग लें।
👉 अध्याय का सारांश (Summary)
प्रिय विद्यार्थियों, कक्षा 10 गणित के इस अत्यंत महत्वपूर्ण और व्यावहारिक अध्याय 'पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन' (Surface Areas and Volumes) में आपका हार्दिक स्वागत है। यह अध्याय ज्यामिति और क्षेत्रमिति का 1 बहुत ही रोचक हिस्सा है, जिसका उपयोग हम अपने दैनिक जीवन में लगभग हर पल और हर जगह करते हैं। जब भी आप बाजार से कोई पैक किया हुआ सामान खरीदते हैं, तो उस बॉक्स को बनाने में कितना गत्ता या रैपर लगा होगा, यह उस बॉक्स के पृष्ठीय क्षेत्रफल पर निर्भर करता है। इसी प्रकार, आपके घर की छत पर रखी पानी की टंकी में कुल कितने लीटर पानी आ सकता है, यह सीधे तौर पर उस टंकी के आयतन (Volume) द्वारा निर्धारित होता है।
पिछली कक्षाओं में आपने द्वि-विमीय (2D) आकृतियों जैसे आयत, वर्ग, और वृत्त के क्षेत्रफल और परिमाप के बारे में विस्तार से पढ़ा है। साथ ही आपने अलग-अलग त्रि-विमीय (3D) आकृतियों जैसे घन (Cube), घनाभ (Cuboid), बेलन (Cylinder), शंकु (Cone), गोला (Sphere) और अर्धगोले (Hemisphere) के पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन ज्ञात करने के बुनियादी सूत्रों का भी अच्छे से अध्ययन किया है। लेकिन इस उन्नत अध्याय में हम 1 बड़ा कदम आगे बढ़ते हुए 2 या अधिक ठोस आकृतियों के संयोजनों (Combinations) पर गहराई से विचार करेंगे।
वास्तविक जीवन में हमें अक्सर ऐसी कई वस्तुएं देखने को मिलती हैं जो किसी 1 स्पष्ट ज्यामितीय आकार की नहीं होतीं, बल्कि विभिन्न ठोस आकारों का 1 जटिल मिश्रण होती हैं। उदाहरण के लिए, गर्मियों में खाई जाने वाली 1 आइसक्रीम का कोण (Cone) नीचे से शंक्वाकार होता है और उसके ठीक ऊपर 1 अर्धगोलाकार आइसक्रीम रखी होती है। इसी तरह, अस्पतालों और दवाइयों में इस्तेमाल होने वाला कैप्सूल बीच से 1 बेलन के आकार का होता है और उसके दोनों सिरों पर 1-1 अर्धगोला बहुत ही बारीकी से जुड़ा होता है। जब हमें ऐसी मिश्रित आकृतियों का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात करना होता है, तो हम उन दोनों जुड़ी हुई आकृतियों के वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफलों (Curved Surface Areas) को आपस में जोड़ देते हैं। यहाँ 1 बात का विशेष ध्यान रखना चाहिए कि जब 2 आकृतियां जुड़ती हैं, तो उनके जुड़ने वाले हिस्से अंदर छिप जाते हैं, इसलिए हम उनका संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल (Total Surface Area) का सूत्र सीधे नहीं लगाते।
इस विस्तृत अध्याय का दूसरा सबसे महत्वपूर्ण और विश्लेषणात्मक हिस्सा 'ठोसों का रूपांतरण' (Conversion of Solids) है। औद्योगिक इकाइयों और कारखानों में कई बार हम 1 बड़े ठोस को पिघलाकर कई छोटे-छोटे ठोस बनाते हैं, या 1 पुरानी धातु की वस्तु को गलाकर 1 बिल्कुल नया आकार देते हैं। जैसे, मोम की 1 बड़ी बेलनाकार मोमबत्ती को पिघलाकर कई छोटी मोमबत्तियां बनाना, या 1 विशाल बेलनाकार बर्तन में रखे जूस को कई छोटे शंक्वाकार गिलासों में ग्राहकों को परोसना। इन सभी व्यावहारिक स्थितियों में गणित का 1 सबसे महत्वपूर्ण और अटल नियम लागू होता है: "आकार और रूप बदलने के बावजूद पदार्थ का कुल आयतन (Volume) हमेशा बिल्कुल समान रहता है।" इसी बुनियादी सिद्धांत का उपयोग करके हम बोर्ड परीक्षाओं के सबसे कठिन इबारती सवालों को बहुत ही आसानी और सटीकता से हल कर सकते हैं।
NCERT और RBSE बोर्ड परीक्षा 2027 के दृष्टिकोण से यह अध्याय आपके पाठ्यक्रम का 1 बहुत ही उच्च अंक दिलाने वाला (High-Scoring) और तार्किक हिस्सा है। इसमें सूत्रों को सही जगह पर लागू करना और गुणा-भाग जैसी गणनाओं (Calculations) में अत्यधिक सटीकता रखना बेहद जरूरी है। विशेषकर π (पाई) के मान 22/7 या 3.14 का प्रश्न के अनुसार सही उपयोग आपके अंतिम उत्तर को बिल्कुल सटीक बनाता है। इन सूत्रों और तर्कों का निरंतर अभ्यास न केवल आपके गणितीय कौशल को निखारेगा बल्कि आपको भविष्य की प्रतियोगी परीक्षाओं के लिए भी पूरी तरह से तैयार करेगा।
विशेषता: यह एक 3-Level आधारित यूनीक क्विज़ है। अगले स्तर (Level 2 और 3) को अनलॉक करने के लिए छात्रों को वर्तमान स्तर में कम से कम 70% अंक स्कोर करने होंगे, जो उनकी बोर्ड परीक्षा की तैयारी को 100% मजबूत बनाता है。
अध्याय के सभी प्रश्न (Revision Notes)
*नोट: यह सेक्शन रिवीजन के लिए है। अपना ज्ञान परखने के लिए ऊपर दिए गए क्विज़ में भाग लें।
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भुजा a वाले 1 घन (Cube) का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल क्या होता है?
A) 4a² | B) 6a² | C) a³ | D) 3a² -
r त्रिज्या और h ऊंचाई वाले 1 बेलन (Cylinder) का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल क्या होता है?
A) πr²h | B) 2πr(r + h) | C) 2πrh | D) 1/3 πr²h -
r त्रिज्या और l तिर्यक ऊंचाई वाले 1 शंकु (Cone) का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल क्या है?
A) πrl | B) πr²l | C) 2πrl | D) πr(l + r) -
r त्रिज्या वाले 1 ठोस गोले (Sphere) का आयतन क्या होता है?
A) 4πr² | B) 3πr² | C) 2/3 πr³ | D) 4/3 πr³ -
1 अर्धगोले (Hemisphere) का संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल (Total Surface Area) क्या होता है?
A) 2πr² | B) 3πr² | C) 4πr² | D) 2/3 πr³ -
लम्बाई l, चौड़ाई b और ऊंचाई h वाले 1 घनाभ (Cuboid) का आयतन क्या होता है?
A) 2(lb + bh + hl) | B) l + b + h | C) l × b × h | D) 2h(l + b) -
शंकु की तिर्यक ऊंचाई (l) ज्ञात करने का सही सूत्र क्या है?
A) l = √(r² - h²) | B) l = r² + h² | C) l = √(r² + h²) | D) l = h² - r² -
14 सेमी त्रिज्या वाले 1 गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल क्या होगा?
A) 2464 वर्ग सेमी | B) 1232 वर्ग सेमी | C) 616 वर्ग सेमी | D) 4928 वर्ग सेमी -
1 बेलन का संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात करने का सूत्र क्या है?
A) 2πrh | B) 2πr(r + h) | C) πr²h | D) πr(r + h) -
7 सेमी त्रिज्या वाले 1 अर्धगोले का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल (Curved Surface Area) क्या होगा?
A) 154 वर्ग सेमी | B) 308 वर्ग सेमी | C) 462 वर्ग सेमी | D) 616 वर्ग सेमी -
2 घनों जिनमें से प्रत्येक का आयतन 64 घन सेमी है, को जोड़कर 1 घनाभ बनाया गया है। इस घनाभ का पृष्ठीय क्षेत्रफल क्या होगा?
A) 120 वर्ग सेमी | B) 160 वर्ग सेमी | C) 256 वर्ग सेमी | D) 128 वर्ग सेमी -
6 सेमी, 8 सेमी और 10 सेमी त्रिज्या वाले धातु के 3 ठोस गोलों को पिघलाकर 1 बड़ा ठोस गोला बनाया जाता है। बड़े गोले की त्रिज्या क्या होगी?
A) 12 सेमी | B) 14 सेमी | C) 16 सेमी | D) 24 सेमी -
1 शंकु और 1 बेलन के आधार की त्रिज्या और ऊंचाई समान है। उनके आयतनों का अनुपात (शंकु : बेलन) क्या होगा?
A) 3:1 | B) 1:3 | C) 1:2 | D) 2:1 -
1 ठोस धातु के बेलन जिसकी त्रिज्या 3 सेमी और ऊंचाई 5 सेमी है, को पिघलाकर 1 सेमी त्रिज्या और 1 सेमी ऊंचाई वाले कितने शंकु बनाए जा सकते हैं?
A) 45 | B) 90 | C) 135 | D) 180 -
4.2 सेमी त्रिज्या वाले धातु के 1 गोले को पिघलाकर 6 सेमी त्रिज्या वाले 1 बेलन के रूप में ढाला जाता है। बेलन की ऊंचाई क्या होगी?
A) 2.744 सेमी | B) 3.14 सेमी | C) 1.372 सेमी | D) 5.488 सेमी -
1 बेलनाकार बर्तन जिसकी आंतरिक त्रिज्या 7 सेमी है, में पानी भरा है। इसमें 7 सेमी त्रिज्या का 1 ठोस गोला पूरी तरह डुबो दिया जाता है। बर्तन में पानी का स्तर कितना ऊपर उठ जाएगा?
A) 7/3 सेमी | B) 14/3 सेमी | C) 28/3 सेमी | D) 7 सेमी -
1 खिलौना 3.5 सेमी त्रिज्या वाले 1 शंकु के आकार का है जो उसी त्रिज्या के अर्धगोले पर रखा है। खिलौने की कुल ऊंचाई 15.5 सेमी है। इसका संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल क्या होगा?
A) 154.5 वर्ग सेमी | B) 214.5 वर्ग सेमी | C) 254.5 वर्ग सेमी | D) 314.5 वर्ग सेमी -
विमाओं 5.5 सेमी × 10 सेमी × 3.5 सेमी वाला 1 घनाभ बनाने के लिए 1.75 सेमी व्यास और 0.2 सेमी मोटाई वाले कितने चांदी के सिक्कों को पिघलाना पड़ेगा?
A) 200 | B) 300 | C) 400 | D) 500 -
यदि किसी गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल 154 वर्ग सेमी है, तो उसका आयतन क्या होगा?
A) 179.66 घन सेमी | B) 154 घन सेमी | C) 359.33 घन सेमी | D) 431 घन सेमी -
2 गोलों के आयतनों का अनुपात 64:27 है। उनके पृष्ठीय क्षेत्रफलों का अनुपात क्या होगा?
A) 4:3 | B) 16:9 | C) 64:27 | D) 8:9 -
7 मीटर व्यास वाला 1 20 मीटर गहरा कुआं खोदा जाता है। निकाली गई मिट्टी से 22 मीटर × 14 मीटर का 1 चबूतरा बनाया गया है। चबूतरे की ऊंचाई क्या होगी?
A) 1.5 मीटर | B) 2.5 मीटर | C) 3.5 मीटर | D) 4 मीटर -
1 किसान 20 सेमी आंतरिक व्यास वाले 1 पाइप द्वारा 10 मीटर व्यास और 2 मीटर गहरी 1 बेलनाकार टंकी को भरता है। यदि पानी 3 किमी/घंटा की चाल से बहता है, तो टंकी कितने समय में भरेगी?
A) 50 मिनट | B) 100 मिनट | C) 150 मिनट | D) 200 मिनट -
1 बर्तन 1 उल्टे शंकु के आकार का है जिसकी ऊंचाई 8 सेमी और त्रिज्या 5 सेमी है। यह पानी से भरा है। इसमें 0.5 सेमी त्रिज्या वाली सीसे की गोलियां डालने पर 1/4 पानी बाहर आ जाता है। गोलियों की संख्या कितनी है?
A) 50 | B) 100 | C) 150 | D) 200 -
3 सेमी व्यास वाले तांबे के 1 ठोस गोले को पिघलाकर 0.2 सेमी व्यास वाला 1 समान मोटाई का तार बनाया गया है। तार की लंबाई कितनी होगी?
A) 18 मीटर | B) 24 मीटर | C) 36 मीटर | D) 72 मीटर -
1 तंबू बेलन के आकार का है जिस पर 1 शंकु अध्यारोपित है। बेलनाकार भाग की ऊंचाई 2.1 मीटर और व्यास 4 मीटर है। शंकु की तिर्यक ऊंचाई 2.8 मीटर है। तंबू को बनाने में प्रयुक्त कैनवास का क्षेत्रफल क्या होगा?
A) 33 वर्ग मीटर | B) 44 वर्ग मीटर | C) 55 वर्ग मीटर | D) 66 वर्ग मीटर -
1 लकड़ी का ठोस बेलन है जिसके दोनों सिरों पर अर्धगोलाकार गड्ढे निकाले गए हैं। यदि बेलन की ऊंचाई 10 सेमी और आधार त्रिज्या 3.5 सेमी है, तो वस्तु का संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल क्या होगा?
A) 374 वर्ग सेमी | B) 400 वर्ग सेमी | C) 350 वर्ग सेमी | D) 420 वर्ग सेमी -
1 जूस बेचने वाला 5 सेमी आंतरिक व्यास वाले बेलनाकार गिलास में जूस देता है जिसके तल में 1 अर्धगोलाकार हिस्सा उभरा हुआ है। यदि गिलास की ऊंचाई 10 सेमी है, तो गिलास की वास्तविक धारिता (आयतन) लगभग क्या होगी?
A) 196.25 घन सेमी | B) 163.54 घन सेमी | C) 229.75 घन सेमी | D) 130.50 घन सेमी -
12 सेमी व्यास और 15 सेमी ऊंचाई वाले 1 लंब वृत्तीय बेलन में पूरी तरह आइसक्रीम भरी है। इस आइसक्रीम को 6 सेमी व्यास और 12 सेमी ऊंचाई वाले शंकुओं (जिनके ऊपर अर्धगोला है) में भरा जाना है। ऐसे कितने शंकु भरे जा सकते हैं?
A) 5 | B) 10 | C) 15 | D) 20 -
1 घनाभ के आकार के लकड़ी के पेन स्टैंड में 4 शंक्वाकार गड्ढे हैं। घनाभ की विमाएं 15 × 10 × 3.5 (सेमी में) हैं। गड्ढे की त्रिज्या 0.5 सेमी और गहराई 1.4 सेमी है। स्टैंड में लकड़ी का शेष आयतन क्या होगा?
A) 521.53 घन सेमी | B) 525 घन सेमी | C) 523.53 घन सेमी | D) 526.47 घन सेमी -
32 सेमी ऊंची और 18 सेमी आधार त्रिज्या वाली 1 बेलनाकार बाल्टी रेत से भरी है। इस रेत को खाली करके 1 शंक्वाकार ढेरी बनाई जाती है। यदि ढेरी की ऊंचाई 24 सेमी है, तो उसकी तिर्यक ऊंचाई (Slant height) क्या होगी?
A) 12√13 सेमी | B) 36 सेमी | C) 12√5 सेमी | D) 24√2 सेमी
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