11. वृत्तों से संबंधित क्षेत्रफल (Areas Related to Circles)
इस पेज पर आपको 11. वृत्तों से संबंधित क्षेत्रफल (Areas Related to Circles) के सभी महत्वपूर्ण बहुविकल्पीय प्रश्न (MCQ), परीक्षा उपयोगी नोट्स और ऑनलाइन क्विज़ मिलेंगे। अपने ज्ञान का परीक्षण करने और बोर्ड/प्रतियोगी परीक्षा में शत-प्रतिशत अंक प्राप्त करने के लिए नीचे दिए गए मॉक टेस्ट में अवश्य भाग लें।
👉 अध्याय का सारांश (Summary)
प्रिय विद्यार्थियों, कक्षा 10 गणित के ग्यारहवें अध्याय 'वृत्तों से संबंधित क्षेत्रफल' (Areas Related to Circles) में आपका हार्दिक स्वागत है। यह अध्याय ज्यामिति और क्षेत्रमिति का 1 बहुत ही रोचक और व्यावहारिक हिस्सा है। आपने अपनी पिछली कक्षाओं में वृत्त (Circle), उसकी त्रिज्या (Radius), व्यास (Diameter), परिमाप (Perimeter) और क्षेत्रफल (Area) जैसी मूलभूत अवधारणाओं का अध्ययन किया है। लेकिन इस अध्याय में हम 1 कदम आगे बढ़कर वृत्त के कुछ विशेष भागों, जैसे त्रिज्यखंड (Sector) और वृत्तखंड (Segment) के क्षेत्रफलों की गणना करना सीखेंगे। हमारे दैनिक जीवन में वृत्ताकार आकृतियों का बहुत अधिक उपयोग होता है। साइकिल का पहिया, स्वादिष्ट पिज्जा, गोल मेजपोश, या दीवार पर लटकी हुई गोल घड़ी—ये सभी वृत्तों से संबंधित क्षेत्रफल के ही उत्कृष्ट जीवंत उदाहरण हैं।
मान लीजिए, आपने 1 गोल पिज्जा मंगवाया है और उसे 6 बराबर हिस्सों में काटा गया है। पिज्जा का प्रत्येक कटा हुआ हिस्सा 1 'त्रिज्यखंड' (Sector) कहलाता है। त्रिज्यखंड वृत्त का वह भाग होता है जो 2 त्रिज्याओं और उनके बीच के संगत चाप (Arc) से घिरा होता है। किसी भी त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल निकालने के लिए हम यह देखते हैं कि वह केंद्र पर कितने डिग्री का कोण बनाता है। इसका सीधा सूत्र (θ/360) × πr² होता है। इसी प्रकार, 'वृत्तखंड' (Segment) वृत्त का वह हिस्सा है जो 1 जीवा (Chord) और उसके संगत चाप के बीच स्थित होता है। इसे ज्ञात करने के लिए हम संगत त्रिज्यखंड के क्षेत्रफल में से त्रिभुज का क्षेत्रफल सावधानीपूर्वक घटा देते हैं।
हमारे वास्तविक जीवन में इन सूत्रों का उपयोग बहुत व्यापक है। जब तेज बारिश में कार के शीशे साफ करने वाले वाइपर (Wipers) चलते हैं, तो उनके ब्लेड शीशे पर जो पानी साफ करते हैं, वह भी 1 त्रिज्यखंड के आकार का ही होता है। यदि 1 वर्गाकार घास के मैदान के 1 कोने पर 1 घोड़े को रस्सी से बांध दिया जाए, तो वह घोड़ा मैदान के जितने हिस्से की घास चर सकता है, वह भी 1 वृत्त का त्रिज्यखंड ही बनता है। इसके अलावा, गोल डाइनिंग टेबल के मेजपोश पर सुंदर डिजाइन बनाने वाले कारीगर भी इन्हीं सटीक गणितीय सूत्रों का प्रयोग करके आवश्यक सामग्री और उसकी लागत का अनुमान लगाते हैं।
NCERT और RBSE बोर्ड परीक्षा 2027 के दृष्टिकोण से यह 1 बहुत ही महत्वपूर्ण और उच्च अंक दिलाने वाला (High-Scoring) अध्याय है। बोर्ड परीक्षाओं में इस अध्याय से सीधे सूत्र आधारित प्रश्नों के साथ-साथ आकृतियों के छायांकित भाग (Shaded region) का क्षेत्रफल निकालने वाले विश्लेषणात्मक प्रश्न अनिवार्य रूप से पूछे जाते हैं। इन गणनाओं में π (पाई) के मान 22/7 या 3.14 का प्रश्न के अनुसार सही उपयोग आपके अंतिम उत्तर को 100 प्रतिशत सटीक बनाता है। इन सूत्रों का निरंतर अभ्यास आपकी गणना की गति को बढ़ाएगा और आपके गणितीय तार्किक कौशल को काफी मजबूत करेगा।
विशेषता: यह एक 3-Level आधारित यूनीक क्विज़ है। अगले स्तर (Level 2 और 3) को अनलॉक करने के लिए छात्रों को वर्तमान स्तर में कम से कम 70% अंक स्कोर करने होंगे, जो उनकी बोर्ड परीक्षा की तैयारी को 100% मजबूत बनाता है。
अध्याय के सभी प्रश्न (Revision Notes)
*नोट: यह सेक्शन रिवीजन के लिए है। अपना ज्ञान परखने के लिए ऊपर दिए गए क्विज़ में भाग लें।
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r त्रिज्या वाले 1 वृत्त के क्षेत्रफल (Area of a Circle) का सही सूत्र क्या है?
A) 2πr | B) πr² | C) πd | D) 2πr² -
वृत्त की परिधि (Circumference) ज्ञात करने का सूत्र क्या होता है?
A) πr² | B) 2πr | C) πr | D) 2πd -
θ कोण वाले 1 त्रिज्यखंड (Sector) के क्षेत्रफल का सूत्र क्या होता है?
A) (θ/180) × πr² | B) (θ/360) × 2πr | C) (θ/360) × πr² | D) (θ/90) × 2πr² -
θ कोण वाले त्रिज्यखंड के संगत चाप की लंबाई (Length of an arc) का सूत्र क्या है?
A) (θ/360) × πr² | B) (θ/360) × 2πr | C) (θ/180) × 2πr | D) (θ/270) × πr -
वृत्त की 2 त्रिज्याओं और उनके बीच के संगत चाप से घिरे क्षेत्र को क्या कहा जाता है?
A) वृत्तखंड | B) जीवा | C) व्यास | D) त्रिज्यखंड -
वृत्त की 1 जीवा (Chord) और उसके संगत चाप के बीच घिरे हुए भाग को क्या कहते हैं?
A) त्रिज्यखंड | B) वृत्तखंड | C) अर्धवृत्त | D) परिधि -
r त्रिज्या वाले 1 अर्धवृत्त (Semicircle) का क्षेत्रफल क्या होता है?
A) πr² | B) 2πr² | C) 1/2 πr² | D) 1/4 πr² -
1 अर्धवृत्त का कुल परिमाप (Perimeter) क्या होता है?
A) πr + 2r | B) πr | C) 2πr + r | D) 1/2 πr -
1 संपूर्ण वृत्त के केंद्र पर बनने वाला कुल कोण कितने डिग्री का होता है?
A) 90 डिग्री | B) 180 डिग्री | C) 270 डिग्री | D) 360 डिग्री -
यदि किसी वृत्त का व्यास (Diameter) d है, तो उसकी त्रिज्या r क्या होगी?
A) r = 2d | B) r = d/2 | C) r = d² | D) r = d + 2 -
यदि किसी वृत्त की परिधि 44 सेमी है, तो उस वृत्त का क्षेत्रफल क्या होगा?
A) 154 वर्ग सेमी | B) 44 वर्ग सेमी | C) 88 वर्ग सेमी | D) 308 वर्ग सेमी -
6 सेमी त्रिज्या वाले 1 वृत्त के 1 त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल क्या होगा, जिसका कोण 60 डिग्री है?
A) 132/7 वर्ग सेमी | B) 66/7 वर्ग सेमी | C) 198/7 वर्ग सेमी | D) 22/7 वर्ग सेमी -
1 घड़ी की मिनट की सुई की लंबाई 14 सेमी है। इस सुई द्वारा 5 मिनट में रचित क्षेत्रफल क्या होगा?
A) 154 वर्ग सेमी | B) 154/3 वर्ग सेमी | C) 77/3 वर्ग सेमी | D) 308/3 वर्ग सेमी -
यदि 1 वृत्त का परिमाप और क्षेत्रफल संख्यात्मक रूप से बराबर हैं, तो उस वृत्त की त्रिज्या क्या होगी?
A) 1 मात्रक | B) 2 मात्रक | C) 4 मात्रक | D) 7 मात्रक -
21 सेमी त्रिज्या वाले वृत्त का 1 चाप केंद्र पर 60 डिग्री का कोण अंतरित करता है। चाप की लंबाई क्या होगी?
A) 11 सेमी | B) 22 सेमी | C) 44 सेमी | D) 66 सेमी -
किसी कार के 2 वाइपर हैं। प्रत्येक वाइपर की पत्ती की लंबाई 25 सेमी है और वे 115 डिग्री के कोण तक घूमकर सफाई कर सकते हैं। पत्तियों की प्रत्येक बुहार के साथ साफ होने वाला कुल क्षेत्रफल क्या होगा?
A) 158125/126 वर्ग सेमी | B) 158125/252 वर्ग सेमी | C) 125000/126 वर्ग सेमी | D) 158125/63 वर्ग सेमी -
यदि 1 वृत्त की परिधि और त्रिज्या का अंतर 37 सेमी है, तो वृत्त का क्षेत्रफल क्या होगा?
A) 111 वर्ग सेमी | B) 148 वर्ग सेमी | C) 154 वर्ग सेमी | D) 259 वर्ग सेमी -
r त्रिज्या वाले 1 वृत्त के अंदर खींचे जा सकने वाले सबसे बड़े वर्ग (Square) का क्षेत्रफल क्या होगा?
A) r² | B) 2r² | C) 4r² | D) 1/2 r² -
2 वृत्तों के क्षेत्रफलों का अनुपात 16:25 है। उनकी परिधियों (Circumferences) का अनुपात क्या होगा?
A) 25:16 | B) 4:5 | C) 5:4 | D) 16:25 -
80 सेमी व्यास वाले 1 पहिए द्वारा 1 चक्कर में तय की गई दूरी कितनी होगी?
A) 40π सेमी | B) 80π सेमी | C) 160π सेमी | D) 3200π सेमी -
1 घोड़े को 15 मीटर वर्गाकार घास के मैदान के 1 कोने पर 7 मीटर लंबी रस्सी से बांधा गया है। मैदान के उस भाग का क्षेत्रफल क्या होगा जहाँ घोड़ा घास चर सकता है?
A) 38.5 वर्ग मीटर | B) 77 वर्ग मीटर | C) 154 वर्ग मीटर | D) 19.25 वर्ग मीटर -
चांदी के तार से 35 मिमी व्यास वाला 1 वृत्ताकार ब्रूच (Brooch) बनाया जाना है। तार का उपयोग 5 व्यासों को बनाने में भी किया गया है जो उसे 10 बराबर त्रिज्यखंडों में बांटते हैं। आवश्यक कुल चांदी के तार की लंबाई क्या है?
A) 110 मिमी | B) 175 मिमी | C) 285 मिमी | D) 385 मिमी -
14 सेमी भुजा वाले 1 वर्ग के अंदर 4 समान वृत्त इस प्रकार खींचे गए हैं कि प्रत्येक वृत्त अन्य 3 वृत्तों में से 2 को स्पर्श करता है। वर्ग के बचे हुए छायांकित भाग (Shaded region) का क्षेत्रफल क्या होगा?
A) 21 वर्ग सेमी | B) 42 वर्ग सेमी | C) 63 वर्ग सेमी | D) 84 वर्ग सेमी -
14 सेमी त्रिज्या वाले 1 वृत्त की 1 जीवा केंद्र पर 90 डिग्री का कोण अंतरित करती है। लघु वृत्तखंड (Minor segment) का क्षेत्रफल क्या होगा?
A) 28 वर्ग सेमी | B) 42 वर्ग सेमी | C) 56 वर्ग सेमी | D) 112 वर्ग सेमी -
केंद्र O वाले 2 संकेंद्री वृत्तों (Concentric circles) की त्रिज्याएँ क्रमशः 7 सेमी और 14 सेमी हैं। यदि त्रिज्यखंड का कोण 40 डिग्री है, तो दोनों चापों के बीच घिरे भाग का क्षेत्रफल क्या होगा?
A) 154/3 वर्ग सेमी | B) 154 वर्ग सेमी | C) 308/3 वर्ग सेमी | D) 77/3 वर्ग सेमी -
1 वृत्ताकार दौड़ने वाले पथ (Racing track) की आंतरिक परिधि 440 मीटर और बाहरी परिधि 506 मीटर है। उस पथ की चौड़ाई कितनी है?
A) 7 मीटर | B) 10.5 मीटर | C) 14 मीटर | D) 21 मीटर -
1 कार के प्रत्येक पहिए का व्यास 80 सेमी है। यदि कार 66 किमी प्रति घंटे की चाल से चल रही है, तो 10 मिनट में प्रत्येक पहिया कितने पूर्ण चक्कर लगाता है?
A) 4000 चक्कर | B) 4275 चक्कर | C) 4375 चक्कर | D) 4500 चक्कर -
42 सेमी भुजा वाले 1 समबाहु त्रिभुज (Equilateral triangle) के अंतःवृत्त (Incircle) का क्षेत्रफल क्या होगा?
A) 154 वर्ग सेमी | B) 462 वर्ग सेमी | C) 924 वर्ग सेमी | D) 1386 वर्ग सेमी -
1 छतरी में 8 ताने (Ribs) हैं जो समान दूरी पर लगे हैं। छतरी को 45 सेमी त्रिज्या वाला 1 सपाट वृत्त मानते हुए, इसकी 2 क्रमागत तानों के बीच का क्षेत्रफल क्या होगा?
A) 22275/28 वर्ग सेमी | B) 22275/14 वर्ग सेमी | C) 11137/28 वर्ग सेमी | D) 22275/7 वर्ग सेमी -
2 वृत्तों की त्रिज्याएँ क्रमशः 24 सेमी और 7 सेमी हैं। उस वृत्त की त्रिज्या क्या होगी जिसका क्षेत्रफल इन दोनों वृत्तों के क्षेत्रफलों के योग के बराबर है?
A) 20 सेमी | B) 25 सेमी | C) 31 सेमी | D) 35 सेमी
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